Вопрос 16. Численные методы решения задачи Коши для оду первого порядка. Метод Эйлера.

Метод Эйлера

Семейство интегральных кривых (сплошная и пунктирные линии) представляет общее решение дифференциального уравнения.

Точное решение (сплошная линия) в соответствии с начальными условиями проходит через точку А₀ с координатами (x₀,y₀). Заменим точное решение y =(x) касательной к интегральной кривой в точке А₀ при x=x₀.

При x=x₁ получим точку А₁ с ординатой y₁=y₀+htg₀. Получим y₁=y₀+hf(x₀,y₀), где f(x₀, y₀) - функция, характеризующая наклон касательной в точке А₀. Таким образом, приращение функции заменяем ее дифференциалом. Выполнив аналогичную процедуру в точке А₁, найдем ординату точки А₂ : y₂=y₁+hf(x₁, y₁).

В общем случае для i-ой точки можно записать

y_i+1=y_i+h f(x_i ,y_i ).

Исходной точкой для каждого прямолинейного отрезка является конечная точка предыдущего. Наклон каждого отрезка ломаной определяется значением производной y’(x_i)=f(x_i,y_i).

Вопрос 17.

Первый модифицированный метод Эйлера

Сначала на каждом i -ом шаге, как и в методе Эйлера, используя наклон касательной в точке A_i (х= x_i), вычисляют промежуточное значение y_i+1/2 , но не на всей длине шага h , а на его половине в средней точке A_c (х=x_i+1/2 ) каждого интервала [x_i , x_i+1]:

Затем находят направление касательной f_i+1/2 в середине интервала в точке A_c (х=x_i+1/2=x_i+h/2) :

Это направление и принимают за окончательное при вычислении ординаты точки A_i+1 на всем интервале h от точки A_i:

Подставив в последнюю формулу два предыдущих выражения, получим одну результирующую формулу для вычисления ординаты точки A_i+1:

Вопрос 18.

Второй модифицированный метод Эйлера

Сначала определяют значение ординаты y_E в точке E как и в методе Эйлера (Рис.4.): y_E=y_i+hf(x_i, y_i).

В точке E вычисляют направление проходящей через нее интегральной кривой f_E=f(x_i+1,y_E).

В качестве окончательного значения направления кривой на всем отрезке h принимают среднее арифметическое значение от направлений f(x_i , y_i) и f_E , т.е. ординату точки A_i+1 вычисляют по формуле

.

Подставив в последнюю формулу два предыдущих выражения, получим одну результирующую формулу для вычисления ординаты точки A_i+1:

.

Локальная погрешность обоих модифицированных методов О(h³) , глобальная - О(h²) .

Все методы Эйлера являются явными и одношаговыми , поскольку для вычисления последующего приближения необходимо знать только значение функции f(x,y) на предыдущем шаге.

Вопрос 19.

Метод Рунге-Кутты.

Геометрический смысл использования метода Рунге-Кутты

1. Из точки M_i с координатами (x_i,y_i) строят касательную в направлении, определяемым углом α₁ , для которого tg α₁=f(x_i,y_i) и находят точку A.

Расстояние NA будет k₁= hf(x_i,y_i).

2. При x=x_i+h/2 в точке F вычисляют наклон второй касательной с углом α₂ (касательная показана утолщенным отрезком) tg α₂=f(x_i+h/2,y_i+k₁/2). С этим наклоном проводят прямую из точки M_i и получают точку B .

При этом приращение будет NB k₂=hf(x_i+h/2,y_i+k₁/2).

3. Также при x=x_i+h/2, но уже в точке G пересечения прямой M_i B с одной из кривых семейства, вычисляют ее наклон (касательная показана утолщенным отрезком) как tgα₃=f(x_i+h/2 , y_i+k₂/2). С этим наклоном проводят прямую из точки M_i и на длине шага h получают приращение NC, равное k₃=hf(x_i+h/2,y_i+k₂/2).

Второй и третий этапы представляют не что иное, как модифицированные методы Эйлера.

4. При x=x_i+1 в точке С пересечения прямой M_iC с одной из кривых семейства вычисляют ее наклон (касательная также показана утолщенным отрезком) как tgα₄=f(x_i+h , y_i+k₃). С этим наклоном проводят прямую из точки M_i и на длине шага h получают приращение ND, равное k₄=hf(x_i+h,y_i+k₃).

5. Окончательно приращение ординаты точки M_i+1 вычисляют как средневзвешенную величину приращений k₁, k₂, k₃, k₄ , с весовыми коэффициентами соответственно

Где k₁= hf(x_i,y_i).

k₂=hf(x_i+h/2,y_i+k₁/2).

k₃=hf(x_i+h/2,y_i+k₂/2).

k₄=hf(x_i+h,y_i+k₃).

Вопрос 20.