Вопрос 5. Интерполяция дискретных данных. Формула Ньютона.

Если нужно повысить точность аппроксимации за счет увеличения степени полинома, пользоваться формулой Лагранжа неудобно, так как по ней приходится все слагаемые пересчитывать заново. Формула Ньютона позволяет в этом случае лишь добавить недостающие члены. Эта формула использует аппарат конечных разностей.

Для этого используем таблицу:

x = x0 + i h	f (k)	 f	2 f	3 f
X0	f0	 f0	2 f0	3 f0
x0 + h	f1	 f1	2 f1
X0 + 2h	f2	 f2
X0 + 3h	f3

f – конечные разности первого порядка.

Они определяются по формулам:

 f₀ = f₁ – f₀ ;  f₁ = f₂ – f₁ ;  f₂ = f₃ – f₂.

Конечные разности второго порядка ²f рассчитываются по формулам

² f₀ = f₁ – f₀ = f₂ – 2f₁ + f₀,

² f₁ = f₂ – f₁ = f₃ – 2f₂ + f₁.

Конечная разность третьего порядка ³f₀ рассчитывается по формуле

³f₀ = ²f₁ – ²f₀ = f₃ – 3f₂ + 3f₁ – f₀ .

Будем искать полином по формуле Ньютона в виде:

y (x) = A₀ + A₁ (x – x₀) + A₂ (x – x₀) (x – x₁) + ... + A_n (x – x₀) ... (x – x _n–1).

Положим x = x₁ , тогда y₁ = y₀ +A₁(x₁ – x₀), откуда

.

Положим x = x₂ , тогда

В результате получим полином вида

Вопрос 6. Численные методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений. Метод половинного деления.

Пусть дано f(x)=0 , функция непрерывна на [a,b] и f(a)f(b)<0.

Алгоритм метода:

1. Вычисляют абсциссу x_c средней точки, делящей отрезок [a_i ,b_i] пополам

x_c = (x_a+x_b)/2 ;

2. Вычисляют значение функции f(x_c) в средней точке;

3. Если f(x_c) f(x_b) > 0 , то отрезок [x_c , x_b] можно отбросить, как не содержащий корня, выполнив присвоение x_b= x_c .Таким образом, правая граница будет смещена влево на половину интервала. В противном случае отбрасывают отрезок [x_a , x_c] с помощью присвоения x_a= x_c .

4. Если |x_b - x_a| >  , то цикл повторяют, начиная с п.1, в противном случае считают, что найденное значение и есть корень уравнения этого интервала, вычисленный с точностью .

Достоинства метода: простота алгоритма, высокая надежность отыскания корня. Недостаток – большое количество шагов итераций.

Вопрос 7. Численные методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений. Метод хорд.

Алгоритм метода:

1. Одну из граничных точек принимают за неподвижную точку x_c . Обычно это точка, в которой знак функции совпадает со знаком второй производной, т.е. f(x_c) f’’(x_c) > 0. Тогда вторую граничную точку принимают за начальное приближение x₀ , в ней

f(x_c) f’’(x_c) < 0 ;

2. Каждое следующее значение абсциссы x_i+1 вычисляют как точку пересечения хорды, соединяющей неподвижную точку x_c и крайнюю текущую точку кривой x_i , с осью абсцисс по формуле:

3. Если |x_i+1 – x_i | >  , то цикл повторяют, начиная с п.2, в противном случае считают, что найденное значение и есть корень уравнения этого интервала, вычисленный с точностью .

Метод обладает теми же достоинствами и недостатками, как и предыдущий.

Метод хорд