Вопрос 11. Решение систем линейных алгебраических уравнений. Метод итераций.

Пусть задана система уравнений в виде, в котором диагональные элементы a_ii  0 (i =1,2,…n). Выразим x₁ через первое уравнение системы, x₂ - через второе уравнение и т.д. В результате получим эквивалентную систему:

Обозначим , где i = 1,2, …,n ; j = 1,2, … n.

Тогда систему можно записать в матричной форме как X=b’+a’X или

Систему такого вида называют системой, приведенной к нормальному виду. При таком способе приведения все коэффициенты a_ii главной диагонали будут равны нулю.

Зададимся начальным приближением X⁽⁰⁾ , например, таким:

- нулевое приближение.

Вычислим значения X⁽¹⁾ первого приближения :

- первое приближение.

Подставим значения X⁽¹⁾ в правую часть уравнения:

- второе приближение,

и т.д., т.е. любое последующее приближение вычисляют по формуле

X^(k+1)=b’+a’X^(k) (k=0,1, … ,n).

Если последовательность приближений X⁽⁰⁾ , X⁽¹⁾ , …, X^(k) имеет предел , то этот предел и является решением исходной системы. При заданной допустимой погрешности  за критерий окончания итерационного процесса можно принять условие .

Вопрос 12. Приближенное дифференцирование с помощью конечных разностей.

Используем значения y_n-1 = f(x_n-h) и y_n+1 = f(x_n+h) и найдём приближенное значение производной в точке x_n по формуле

Известно, что в математическом анализе производную определяют как предел выражения(4.1):

f '(x_n) =

Методическая погрешность

_мет = h²/3!_*( f'''(x))

при h<1 пропорциональна h².

Погрешность реализации _реал примем равной f/h. Она растёт с уменьшением h и при этом _реал при h0. Полная погрешность

_полн = _мет + _реал = h²/3!_*f'''(x) + f/h

При фиксированных параметрах задачи (точность вычисления значений функции f(x), среднее значение f'''(x)) можно определить координаты точки минимума полной погрешности:

h_оптим

1. Одним из самых простых методов является аппроксимация производной, являющейся пределом отношения приращения функции y к приращению аргумента x, отношением конечных разностей y  y/x .

2. Пусть функция задана в табличном виде значениями y = y₀, y₁, . . . , y_n при значениях аргумента x = x₀, x₁, . . . , x_n . Пусть шаг между соседними значениями аргумента x=x_i+1 - x_i постоянный и равен h=x . В зависимости от способа вычисления конечных разностей получим и разные формулы для вычисления производной в одной и той же точке, например, при x = x₁ .

3. Ведем обозначения индексов для левых конечных разностей - L, правых – R, центральных – C. Тогда для левых разностей будем иметь:

Для правых разностей:

Для центральных разностей: