Тема 13 Перехід від регулярної моделі рельєфу до моделі горизонталей

13.1. Завдання. Задана регулярна модель рельєфу деякої квадратної ділянки території, кожна з комірок якої має вигляд квадрата із стороною . Математично дана модель представляється матрицею H_ij , i=1,10; j=1,10. Необхідно перейти від цієї моделі до картографічної моделі (моделі горизонталей). Для обрахунку координат точок, через які проходять горизонталі, використати лінійну інтерполяцію. Використовуючи задані значення висот у вузлах регулярної мережі вирахувати значення ухилу для східного, південного, західного, північного, а також чотирьох проміжних напрямків у вузлі 55. Побудувати діаграму ухилів.

13.2. Теоретичні відомості

Основою побудови горизонталей виступає координатна сітка, яка складається з десяти горизонтальних і десяти вертикальних рівновіддалених ліній. Відстані між лініями у вибраному масштабі відповідають довжині сторони комірки – a. Горизонталі будемо будувати у вигляді ламаних ліній, які сполучають точки рівної висоти, розташовані на сусідніх відрізках координатної сітки. Сусідніми відрізками вважаються ті, які мають спільний вузол.

Для обрахунку координат точки, через яку пройде горизонталь, використаємо лінійну інтерполяцію. Розглянемо одне з ребер комірки (рис.1). Нехай висоти у лівій та правій точках відрізка дорівнюють H₁ i H₂ відповідно. Необхідно знайти координату x точки, яка має цілочисельну висоту H₀ (H₁  H₀  H₂ , 0  x  a ).

a

H₁

H₀

H₂

x

Рис.1. Використання лінійної інтерполяції для визначення координати точки, через яку проходить горизонталь.

Очевидно, що справедлива пропорція (H2 – H1) / a = (H0 – H1) / x. Звідси знаходимо координату x точки, що має висоту H₀

( 1 )

Проілюструємо цей алгоритм на прикладі розрахунку фрагмента території зображеного нижче (рис.2). Нехай матриця висот H має вигляд:

185.8 187.1 188.3

187.4 188.1 189.4

188.9 190.5 190.7

Горизонталі будемо будувати з висотою перерізу рельєфу 1м, вважаючи відстань між вузлами мережі рівною 10 м. Для позначення координати шуканої точки будемо використовувати позначення X^ij_H ,Y^ij_H . Тут i,j - індекси вузлів мережі, H - висота даної горизонталі. Кожен індекс є парою чисел, які позначають координати вузла на координатній сітці. Слід зауважити, що деякі ребра комірок перетинатимуть декілька цілочисельних горизонталей (якщо різниця між висотами сусідніх вузлів становить декілька метрів); інші ребра може не перетинати жодна горизонталь (якщо різниця між висотами сусідніх вузлів не перевищує одного метра, наприклад, 185,2 - 185,8).

Наведемо декілька прикладів розрахунку координат точок перетину координатної сітки відповідними горизонталями (для матриці, записаної вище):

.

Тут 1112 – індекси двох сусідніх вузлів координатної сітки (11 і 12); 186 – висота горизонталі, яка перетинає ребро 1112; 1.5м – координата (відстань від вузла 11) точки перетину ребра 1112 горизонталлю 186. Наведемо ще декілька прикладів аналогічних розрахунків:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Результати розрахунків для фрагмента координатної сітки зображено на Рис.2.

Рис.2. Фрагмент картографічної моделі рельєфу (моделі горизонталей).