- •Оглавление
- •Глава 1. Структура современной эконометрики 6
- •Глава 2. Выборочные исследования 20
- •Глава 3. Основы теории измерений 33
- •Глава 4. Статистический анализ числовых величин (непараметрическая статистика) 40
- •Глава 14. Эконометрика прогнозирования и риска 256
- •Глава 15. Современные эконометрические методы 270
- •Предисловие
- •Глава 1. Структура современной эконометрики
- •1.1.Эконометрика сегодня
- •1.3. Структура эконометрики
- •1.4.Специфика экономических данных
- •1.5. Нечисловые экономические величины
- •1.6.Статистика интервальных данных - научное направление на стыке метрологии и математической статистики
- •1.7. Эконометрические модели
- •1.8.Применения эконометрических методов
- •1.9. Эконометрика как область научно-практической деятельности
- •1.10. Эконометрические методы в практической и учебной деятельности
- •Цитированная литература
- •Глава 2. Выборочные исследования
- •2.1. Построение выборочной функции спроса
- •2.2. Маркетинговые опросы потребителей
- •Г. О курсе "Основы экономики"
- •Д. Дополнительная информация
- •2.3. Проверка однородности двух биномиальных выборок
- •Цитированная литература
- •Глава 3. Основы теории измерений
- •3.1. Основные шкалы измерения
- •3.2. Инвариантные алгоритмы и средние величины
- •3.3. Средние величины в порядковой шкале
- •3.4. Средние по Колмогорову
- •Цитированная литература
- •Глава 4. Статистический анализ числовых величин (непараметрическая статистика)
- •4.1. Часто ли распределение результатов наблюдений является нормальным?
- •4.2. Неустойчивость параметрических методов отбраковки резко выделяющихся результатов наблюдений
- •4.3. Непараметрическое доверительное оценивание характеристик распределения
- •4.4. О проверке однородности двух независимых выборок
- •Критерий Крамера-Уэлча равенства математических ожиданий
- •4.5. Какие гипотезы можно проверять с помощью двухвыборочного критерия Вилкоксона?
- •4.6. Состоятельные критерии проверки однородности для независимых выборок
- •4.7. Методы проверки однородности для связанных выборок
- •Цитированная литература
- •Глава 5. Многомерный статистический анализ
- •5.1. Оценивание линейной прогностической функции
- •5.2. Основы линейного регрессионного анализа
- •5.3. Основные понятия теории классификации
- •5.4. Эконометрика классификации
- •Цитированная литература
- •Глава 6. Эконометрика временных рядов
- •6.1. Модели стационарных и нестационарных временных рядов, их идентификация
- •6.2. Системы эконометрических уравнений
- •6.3. Оценивание длины периоды и периодической составляющей
- •6.4. Метод жок оценки результатов взаимовлияний факторов
- •Цитированная литература
- •Глава 7. Эконометрический анализ инфляции
- •7. 1. Определение индекса инфляции
- •7.2. Практически используемые потребительские корзины и соответствующие индексы инфляции
- •7.3. Свойства индексов инфляции
- •7.4. Возможности использования индекса инфляции в экономических расчетах
- •7.5. Динамика цен на продовольственные товары с Москве и Московской области
- •Цитированная литература
- •Глава 8. Статистика нечисловых данных
- •8.1. Объекты нечисловой природы
- •8.2. Вероятностные модели конкретных видов объектов нечисловой природы
- •8.3. Структура статистики объектов нечисловой природы
- •8.4. Законы больших чисел и состоятельность статистических оценок в пространствах произвольной природы
- •8.5. Непараметрические оценки плотности в пространствах произвольной природы
- •Цитированная литература
- •Глава 9. Статистика интервальных данных
- •9.1. Основные идеи статистики интервальных данных
- •9.2. Примеры статистического анализа интервальных данных
- •9.3. Статистика интервальных данных и оценки погрешностей характеристик финансовых потоков инвестиционных проектов
- •Цитированная литература
- •Глава 10. Проблемы устойчивости эконометрических процедур
- •10.1. Общая схема устойчивости
- •10.2. Робастность статистических процедур
- •10.3. Устойчивость по отношению к объему выборки
- •10.4. Устойчивость по отношению к горизонту планирования
- •Цитированная литература
- •Глава 11. Эконометрические информационные технологии
- •11.1. Проблема множественных проверок статистических гипотез
- •11.2. Проблемы разработки и обоснования статистических технологий
- •11.3. Методы статистических испытаний (Монте-Карло) и датчики псевдослучайных чисел
- •11.4. Методы размножения выборок (бутстреп-методы)
- •11.5. Эконометрика в контроллинге
- •Цитированная литература
- •Глава 12. Эконометрические методы проведения экспертных исследований и анализа оценок экспертов
- •12.1. Примеры процедур экспертных оценок
- •12.2. Основные стадии экспертного опроса
- •12.3. Подбор экспертов
- •12.4. О разработке регламента проведения сбора и анализа экспертных мнений
- •12.5. Методы средних баллов
- •12.6. Метод согласования кластеризованных ранжировок
- •12.7. Математические методы анализа экспертных оценок
- •Цитированная литература
- •Глава 13. Эконометрические методы управления качеством и сертификации продукции
- •13.1. Основы статистического контроля качества продукции
- •13.2. Асимптотическая теория одноступенчатых планов статистического контроля
- •13.3. Некоторые практические вопросы статистического контроля качества продукции и услуг
- •13.4. Всегда ли нужен контроль качества продукции?
- •13.5. Статистический контроль по двум альтернативным признакам и метод проверки их независимости по совокупности малых выборок
- •13.6. Эконометрика качества и сертификация
- •Цитированная литература
- •Глава 14. Эконометрика прогнозирования и риска
- •14.1. Методы социально-экономического прогнозирования
- •14.2. Основные идеи технологии сценарных экспертных прогнозов
- •14.3. Различные виды рисков
- •14.4. Подходы к управлению рисками
- •Цитированная литература
- •Глава 15. Современные эконометрические методы
- •15.1. О развитии эконометрических методов
- •15.2. Точки роста
- •15.3. О некоторых нерешенных вопросах эконометрики и прикладной статистики
- •15.4. Высокие статистические технологии и эконометрика
- •Цитированная литература
- •Приложение 1 Вероятностно-статистические основы эконометрики
- •Цитированная литература
- •Приложение 2 Нечеткие и случайные множества
- •К последовательности операций над случайными множествами
- •Цитированная литература
- •Приложение 3 Методика сравнительного анализа родственных эконометрических моделей
- •П3 4. Эмпирические единичные показатели качества
- •Кластеризации и усреднения ранжировок
- •Цитированная литература
- •Приложение 4 Примеры задач по эконометрике
- •Проверка однородности двух независимых выборок
- •Проверка однородности связанных выборках
- •Исходные данные для задачи 4.
- •Индекс инфляции
- •Упорядочения по средним рангам и по медианам
- •Медиана Кемени
К последовательности операций над случайными множествами
Выше получены некоторые связи между нечеткими и случайными множествами. Стоит отметить, что изучение этих связей в работе [5] (эта работа выполнена в 1974 г. и доложена на семинаре "Многомерный статистический анализ и вероятностное моделирование реальных процессов" 18 декабря 1974 г. - см. [5, с.169]) началось с введения случайных множеств с целью развития и обобщения аппарата нечетких множеств Л. Заде. Дело в том, что математический аппарат нечетких множеств не позволяет в должной мере учитывать различные варианты зависимости между понятиями (объектами), моделируемыми с его помощью, не является достаточно гибким. Так, для описания "общей части" двух нечетких множеств есть лишь две операции - произведение и пересечение. Если применяется первая из них, то фактически предполагается, что множества ведут себя как проекции независимых случайных множеств (см. выше теорему 6). Операция пересечения также накладывает вполне определенные ограничения на вид зависимости между множествами (см. выше теорему 7), причем в этом случае найдены даже необходимые и достаточные условия. Желательно иметь более широкие возможности для моделирования зависимости между множествами (понятиями, объектами). Использование математического аппарата случайных множеств предоставляет такие возможности.
Цель сведения нечетких множеств к случайным состоит в том, чтобы за любой конструкцией из нечетких множеств видеть конструкцию из случайных множеств, определяющую свойства первой, аналогично тому, как плотностью распределения вероятностей мы видим случайную величину. В настоящем пункте приводим результаты по сведению алгебры нечетких множеств к алгебре случайных множеств.
Определение 4. Вероятностное пространство {W, G, P} назовем делимым, если для любого измеримого множества Х G и любого положительного числа , меньшего Р(Х), можно указать измеримое множество такое, что
Пример. Пусть - единичный куб конечномерного линейного пространства, G есть сигма-алгебра борелевских множеств, а P - мера Лебега. Тогда {W, G, P} - делимое вероятностное пространство.
Таким образом, делимое вероятностное пространство - это не экзотика. Обычный куб является примером такого пространства.
Доказательство сформулированного в примере утверждения проводится стандартными математическими приемами, основанными на том, что измеримое множество можно сколь угодно точно приблизить открытыми множествами, последние представляются в виде суммы не более чем счетного числа открытых шаров, а для шаров делимость проверяется непосредственно (от шара Х тело объема отделяется соответствующей плоскостью).
Теорема 8. Пусть даны случайное множество А на делимом вероятностном пространстве {W, G, P} со значениями во множестве всех подмножеств множества У из конечного числа элементов, и нечеткое множество D на У. Тогда существуют случайные множества С1, С2, С3, С4 на том же вероятностном пространстве такие, что
где B = Proj A.
Доказательство. В силу справедливости законов де Моргана для нечетких (см. теорему 1 выше) и для случайных множеств, а также теоремы 5 выше (об отрицаниях) достаточно доказать существование случайных множеств С1 и С2 .
Рассмотрим распределение вероятностей во множестве всех подмножеств множества У, соответствующее случайному множеству С такому, что Proj C = D (оно существует в силу теоремы 3). Построим случайное множество С2 с указанным распределением, независимое от А. Тогда по теореме 6.
Перейдем к построению случайного множества С1. По теореме 7 необходимо и достаточно определить случайное множество так, чтобы ProjC1 = D и пересечение носителей случайных множеств и было пусто, т.е.
для и
для .
Построим , исходя из заданного случайного множества Пусть Исключим элемент у1 из для стольких элементарных событий , чтобы для полученного случайного множества было справедливо равенство
(именно здесь используется делимость вероятностного пространства, на котором задано случайное множество ). Для , очевидно,
Аналогичным образом последовательно исключаем у из для всех и добавляем у в для всех , меняя на каждом шагу только для так, чтобы
(ясно, что при рассмотрении случайное множество не меняется). Перебрав все элементы У, получим случайное множество , для которого выполнено требуемое. Теорема 8 доказана.
Основной результат о сведении теории нечетких множеств к теории случайных множеств дается следующей теоремой.
Теорема 9. Пусть - некоторые нечеткие подмножества множества У из конечного числа элементов. Рассмотрим результаты последовательного выполнения теоретико-множественных операций
где - символ одной из следующих теоретико-множественных операций над нечеткими множествами: пересечение, произведение, объединение, сумма (на разных местах могут стоять разные символы). Тогда существуют случайные подмножества того же множества У такие, что
и, кроме того, результаты теоретико-множественных операций связаны аналогичными соотношениями
где знак означает, что на рассматриваемом месте стоит символ пересечения случайных множеств, если в определении Bm стоит символ пересечения или символ произведения нечетких множеств, и соответственно символ объединения случайных множеств, если в Bm стоит символ объединения или символ суммы нечетких множеств.
Комментарий. Поясним содержание теоремы. Например, если
то
Как совместить справедливость дистрибутивного закона для случайных множеств (вытекающего из его справедливости для обычных множеств) с теоремой 2 выше, в которой показано, что для нечетких множеств, вообще говоря, ? Дело в том, что хотя в соответствии с теоремой 9 для любых трех нечетких множеств В1, В2 и В3 можно указать три случайных множества А1, А2 и А3 такие, что
где
но при этом, вообще говоря,
и, кроме случаев, указанных в теореме 2,
Доказательство теоремы 9 проводится по индукции. При t=1 распределение случайного множества строится с помощью теоремы 3. Затем конструируется само случайное множество А1, определенное на делимом вероятностном пространстве (нетрудно проверить, что на делимом вероятностном пространстве можно построить случайное подмножество конечного множества с любым заданным распределением именно в силу делимости пространства). Далее случайные множества А2, А3, …, At строим по индукции с помощью теоремы 8. Теорема 9 доказана.
Замечание. Проведенное доказательство теоремы 9 проходит и в случае, когда при определении Bm используются отрицания, точнее, кроме Bm ранее введенного вида используются также последовательности результатов теоретико-множественных операций, очередной шаг в которых имеет вид
А именно, сначала при помощи законов де Моргана (теорема 1 выше) проводится преобразование, в результате которого в последовательности Bm остаются только отрицания отдельных подмножеств из совокупности , а затем с помощью теоремы 5 вообще удается избавиться от отрицаний и вернуться к условиям теоремы 9.
Итак, в настоящем приложении описаны связи между такими объектами нечисловой природы, как нечеткие и случайные множества, установленные в нашей стране в первой половине 1970-х годов. Через несколько лет, а именно, в начале 1980-х годов, близкие подходы стали развиваться и за рубежом. Одна из работ [6] носит примечательное название "Нечеткие множества как классы эквивалентности случайных множеств".
В эконометрике разработан ряд методов статистического анализа нечетких данных, в том числе методы классификации, регрессии, проверки гипотез о совпадении функций принадлежности по опытным данным и т.д., при этом оказались полезными общие подходы статистики объектов нечисловой природы (см. главу 8 и работы [1,2,5]). Методологические и прикладные вопросы теории нечеткости мы обсуждали в работах [1,2,7].