1.4.3. Представление вещественных чисел

В большинстве современных компьютеров для вещественных чисел принята форма представления с плавающей точкой, когда каждое число представляют в виде

x = ±(γ1⋅2−1 + γ2⋅2−2 +… + γl⋅2−l)2p.

(1.17)

Здесь γ₁, γ₂, …, γ_l − двоичные цифры, p − целое число, называемое двоич-ным порядком.

Число x нормализуется так, чтобы γ₁ = 1, и поэтому в памяти компью-тера хранятся только значащие цифры. Число μ = ±(γ₁⋅2⁻¹ + γ₂⋅2⁻² + +… + γ_l⋅2^−l) называется мантиссой числа x. Количество l цифр, которое отводится для записи мантиссы, называемое разрядностью мантиссы, зависит от конструктивных особенностей конкретной вычислительной машины, но всегда является конечным. Порядок также записывают как двоичное целое число p = ±(σ_lσ_l−1 … σ ₀)₂, для хранения которого в ма-шинном слове отводится l + 2 двоичных разрядов.

Поскольку нуль − не нормализуемое число (его нельзя представить в виде (1.17) при γ₁ ≠ 0), его для хранения записывают особым способом.

18

Пример 1.14. Представим число x = 20.5 в двоичной системе счисле-ния в нормализованной форме с плавающей точкой. Так как x = = (10100.1)₂ (см. пример 1.13), то, перемещая двоичную точку на пять позиций влево, получаем x = (0.101001)₂⋅2⁵.

На основании имеющихся сведений о представлении чисел в компью-тере можно сделать ряд важных выводов.

1. В компьютере представимы не все числа, а лишь конечный набор рациональных чисел специального вида. Эти числа образуют представи-мое множество компьютера. Для всех остальных чисел x возможно лишь их приближенное представление с ошибкой, которую принято называть ошибкой представления (или ошибкой округления). Обычно приближен-ное представление числа x в компьютере обозначают как x^* = fl(x)¹. Если округление производят по дополнению, то граница относительной по-грешности представления равна единице первого отброшенного разряда мантиссы, т.е. δ′(x^*) = ε_M = 2^−l (порядок числа влияет на относительную погрешность представления). Если же округление производят усечением, то δ′(x^*) = ε_M = 2^1−l. Величина ε_M играет в вычислениях на компьютере фундаментальную роль; ее называют относительной точностью компью-тера, а также машинной точностью (или машинным эпсилон). Всюду в дальнейшем ε_M − это относительная точность компьютера. Заметим, что значение этой величины определяется разрядностью мантиссы и спосо-бом округления.

Важно с самого начала иметь четкое представление о том, что почти наверняка в представимом множестве чисел компьютера нет числа y, яв-ляющегося решением поставленной задачи. Лучшее, что можно попы-таться сделать, − это найти его представление y^* = fl(y) с относительной точностью порядка ε_M.

Полезно отметить, что среди представленных в компьютере чисел нет не только ни одного иррационального (в том числе и таких важных по-стоянных, как π, е, √2), но и даже такого широко используемого в вычис-лениях числа , как 0.1. Дело в том, что двоичная запись числа 0.1 является бесконечной периодической дробью: 0.1 = (0.0001100110011…)₂. Поэто-му это число всегда представляется в компьютере приближенно, с по-грешностью, вызванной необходимостью округления.

2. Диапазон изменения чисел в компьютере ограничен. В самом деле, так как γ₁ = 1, то из (1.17) следует, что для мантиссы μ справедливы

¹ fl − начальные буквы английского слова floating − «плавающий».

19

оценки 0.5 ≤ |μ| < 1. В то же время для представления в компьютере по-рядка p используется конечное число (l + 1) двоичных цифр и поэтому |p| ≤ p _max = 2^l+1 − 1. Таким образом, для всех представимых в компьютере чисел x (за исключением нуля) имеем

0 < X₀ ≤ |x| < X_∞,

где X ₀ = 2^{− ( pmax +1)} , X _∞ = 2 ^pmax . Заметим, что диапазон представления чисел в компьютере всецело определяется разрядностью порядка.

3. Все числа x, по модулю большие X_∞, не представимы в компьютере