1.2.3. Округление

Часто возникает необходимость в округлении числа a, т.е. замене его другим числом a^* с меньшим числом значащих цифр. Возникающая при такой замене погрешность называется погрешностью округления.

Есть несколько способов округления числа до n значащих цифр. Про-стейший, усечение, состоит в отбрасывании всех цифр, расположенных справа от n-й значащей цифры. Более предпочтительным является округ-ление по дополнению. Если первая слева из отбрасываемых цифр меньше

13

5, то сохраняемые цифры остаются без изменения. Если же она больше либо равна 5, то в младший сохраняемый разряд добавляется единица.

Абсолютное значение погрешности при округлении по дополнению не превышает половины единицы разряда, соответствующего последней оставляемой цифре, а при усечении − единицы того же разряда.

Пример 1.9. При округлении числа a = 1.72631 усечением до трех значащих цифр получится число a^* = 1.72, а при округлении по дополне-нию − число a^* = 1.73.

Границы абсолютной и относительной погрешностей принято всегда

округлять в сторону увеличения.
Пример 1.10.	Округление	значений Δ′(a*) = 0.003721 и δ′(a*) =
= 0.0005427 до	двух значащих	цифр дает значения Δ′(a*) = 0.0038 и
δ′(a*) = 0.00055.

1.3. Погрешности арифметических операций над приближенными числами

Исследуем влияние погрешностей исходных данных на погрешность результатов арифметических операций. Пусть a^* и b^* − приближенные значения чисел a и b. Какова соответствующая им величина неустрани-мой погрешности результата?

Утверждение 1.2. Абсолютная погрешность алгебраической суммы (суммы или разности) не превосходит суммы абсолютных погрешностей слагаемых, т.е.

(a* ± b*) ≤ (a*) + (b*),	(1.8)
поскольку
(a* ± b*) = |(a ± b) − (a* ± b*)| = |(a − a*) ± (b − b*)| ≤ (a*) + (b*).
В силу неравенства (1.8) естественно положить
Δ′(a* ± b*) ≤ Δ′(a*) + Δ′(b*).	(1.9)

Оценим относительную погрешность алгебраической суммы.

Утверждение 1.3. Пусть a и b − ненулевые числа одного знака. Тогда

справедливы неравенства
δ(a* + b*) ≤ δmax, δ(a* − b*) ≤ ν δmax,	(1.10)
где δmax = max{δ(a*), δ(b*)}, ν = |a + b| / |a − b|.
14

Используя формулу (1.2) и неравенство (1.8), имеем
|a ± b|δ(a* ± b*) = (a* ± b*) ≤ (a*) + (b*) =
= |a|δ(a*) + |a ± |b|δ(b*) ≤ (|a| + |b|)δmax = |a + b|δmax ,
откуда видна очевидность оценки (1.10).
В силу неравенства (1.10) естественно положить
δ′(a* + b*) = δ′max, δ′(a* − b*) = ν δ′max,	(1.11)

где δ′_max = max{δ′(a^*), δ′(b^*)}, ν = |a + b| / |a − b|.

Первое из равенств (1.11) означает, что при суммировании чисел од-ного знака не происходит потери точности, если оценить точность в от-носительных единицах. Совсем иначе дело обстоит при вычитании чисел одного знака. Здесь граница относительной погрешности возрастает в ν > 1 раз и возможна существенная потеря точности. Если числа a и b близки настолько, что |a + b| >> |a − b|, то ν >> 1 и не исключена полная или почти полная потеря точности. Когда это происходит, говорят о том, что произошла катастрофическая потеря точности.

Пример 1.11. Пусть решается инженерная задача, в которой оконча-тельный результат y вычисляется по формуле y = 1 − x с помощью пред-варительно определяемого значения x. Предположим, что найденное приближение x^* = 0.999997 к значению x содержит шесть верных знача-щих цифр. Тогда y^* = 1 − 0.999997 = 0.000003 и в процессе вычисления оказались потерянными пять верных цифр. Если же учесть, что δ(x^*) ≈ ≈ 0.0001%, а δ(y^*) ≈ 33%, то следует признать, что произошла катастро-фическая потеря точности.

Подчеркнем, что здесь виновником «катастрофы» является не опера-ция вычитания , а предложенный метод решения задачи, где окончатель-ный результат получается с помощью вычитания двух близких чисел. Выполнение этой операции лишь делает очевидным то, что действитель-но полезная информация о значении y уже оказалась потерянной до вы-читания. Если нет другого варианта расчета, то для получения приемле-мого результата следовало бы предварительно вычислить x с существен-но большим числом верных знаков, учитывая, что пять старших цифр при вычитании будут потеряны.

Итак, получаем следующий важный вывод. При построении числен-ного метода решения задачи следует избегать вычитания близких чисел одного знака . Если же такое вычитание неизбежно, то следует вычислять аргументы с повышенной точностью, учитывая ее потерю примерно в

ν = |a + b| / |a − b| раз.

15

Утверждение 1.4. Для относительных погрешностей	произведения
приближенных чисел верны оценки
δ(a*b*) ≤ δ(a*) + δ(b*) + δ(a*)δ(b*),	(1.12)
δ(a* / b*) ≤ δ(a*) + δ(b*) / (1 − δ(b*)),	(1.13)
в последней из которых считается, что δ(b*) < 1.
Для доказательства выполним следующие преобразования:

|ab|δ(a^*b^*) = (a^*b^*) = |ab − a^*b^*| = = |(a − a^*)b + (b − b^*)a − (a − a^*)(b − b^*)| ≤

≤ |b| (a^*) + |a| (b^*) + (a^*) (b^*) = |ab|(δ(a^*) + δ(b^*) + δ(a^*)|ab|δ(b^*)).

Разделив обе части полученного неравенства на |ab|, выведем оценку

(1.12).

Для вывода второй оценки предварительно заметим, что

|b^*| = |b + (b^* − b)| ≥ |b| − (b^*) = |b|(1 − δ(b^*)).

Тогда

δ(a^* / b^*) = |a / b − a^* / b^*| / |a / b| = |ab^* − ba^*| / |ab^*| =

= |a(b^* − b) + b(a − a^*)| / |ab^*| ≤ |a| (b^*) + |b| (a ^*) / |ab|(1 − δ(b^*)) = = δ(a^*) + δ(b^*) / (1 − δ(b^*)).

Если δ′(a^*) << 1 и δ′(b^*) << 1, то для оценки границ относительных по-грешностей можно использовать следующие приближенные равенства:

δ′(a^*b^*) ≈ δ′(a^*) + δ′(b^*), δ′(a^* / b^*) ≈ δ′(a^*) + δ′(b^*). (1.14)

Именно равенства (1.14) чаще всего и используют для практической оценки погрешности.

Итак, выполнение арифметических операций над приближенными числами, как правило, сопровождается потерей точности. Единственная операция, при которой потеря не происходит, − это сложение чисел оди-накового знака. Наибольшая потеря точности может произойти при вы-читании близких чисел одного знака.