1.2. Приближенные числа. Абсолютная и относительная погрешности

В разделе 1.1 было отмечено, что числа, получаемые при решении прикладных задач на компьютере, как правило, являются приближенны-ми. Следовательно, вопрос о точности результатов, т.е. о мере их уклоне-ния от истинных значений, в теории и практике методов вычислений приобретает особое значение. Начнем его рассмотрение с введения ос-новных понятий элементарной теории погрешностей.

1.2.1. Абсолютная и относительная погрешности

Пусть a – точное (вообще говоря, неизвестное) значение некоторой величины, a^* – известное приближенное значение той же величины (при-ближенное число). Ошибкой или погрешностью приближенного числа a^* называют разность a – a^* между точным и приближенным значениями.

9

Простейшей количественной мерой погрешности является абсолют-ная погрешность

(a*) = |a – a*|.

(1.1)

Однако по значению абсолютной погрешности далеко не всегда мож-но сделать правильное заключение о качестве приближения. Действи-тельно , если (a ^*) = 0.1, то следует ли считать погрешность большой или нужно признать ее малой? Ответ существенным образом зависит от при-нятых единиц измерения и масштабов величин. Если a ≈ 0.3 то, скорее всего , точность приближения невелика; если же a ≈ 3⋅10⁸, то следует при-знать точность очень высокой. Таким образом, естественно соотнести погрешность величины и ее значение, для чего вводится понятие относи-

тельной погрешности (при a ≠ 0)
δ(a*) = |a – a*| / |a| = (a*) / |a|.	(1.2)

Использование относительных погрешностей удобно, в частности, тем, что они не зависят от масштабов величин и единиц измерения. Заме-

тим, что для приведенного примера δ(a^*) ≈ 0.33 = 33% в первом случае и

δ(a^*) ≈ 0.33⋅10^–9 = 0.33⋅10^–7% во втором.

Так как значение a неизвестно, то непосредственное вычисление ве-личин (a^*) и δ(a^*) по формулам (1.1) и (1.2) невозможно. Более реальная и часто поддающаяся решению задача состоит в получении оценок по-

грешности вида
|a – a*| ≤ Δ′(a*),	(1.3)
|a – a*| / |a| ≤ δ′(a*),	(1.4)

где Δ′(a^*) и δ′(a^*) – величины, которые будем называть верхними грани-цами (или границами) абсолютной и относительной погрешностей.

Если величина Δ′(a^*) известна, то неравенство (1.4) будет выполнено,

если положить
δ′(a*) = Δ′(a*) / |a|.	(1.5)
Точно так же, если величина δ′(a*) известна, то следует положить
Δ′(a*) = |a|δ′(a*).	(1.6)

Поскольку значение a неизвестно, при практическом применении

формулы (1.5), (1.6) заменяют приближенными равенствами
δ′(a*) ≈ Δ′(a*) / |a*|, Δ′(a*) ≈ |a*|δ′(a*).	(1.7)

В литературе по методам вычислений широко используется термин «точность». Принято говорить о точности входных данных и решения, о повышении и снижении точности вычислений и т.д. Точность в качест-венных рассуждениях обычно выступает как противоположность по-грешности, хотя для количественного их измерения используются одни и те же характеристики (например, абсолютная и относительная погрешно-

10

сти). Точное значение величины – это значение, не содержащее погреш-ности. Повышение точности воспринимается как уменьшение погрешно-сти, а снижение точности – как увеличение погрешности. Часто исполь-зуемая фраза «требуется найти решение с заданной точностью ε» означа-ет, что ставится задача о нахождении приближенного решения, принятая мера погрешности которого не превышает заданного значения ε. Вообще говоря, следовало бы говорить об абсолютной точности и относительной точности, но часто этого не делают, считая, что из контекста ясно, как измеряется погрешность.