- •Министерство образования и науки Российской Федерации
- •1. Учет погрешностей приближенных вычислений
- •1.1. Источники и классификация погрешностей результата численного решения задачи
- •1.2. Приближенные числа. Абсолютная и относительная погрешности
- •1.2.1. Абсолютная и относительная погрешности
- •1.2.2. Правила записи приближенных чисел
- •1.2.3. Округление
- •1.3. Погрешности арифметических операций над приближенными числами
- •1.4. Особенности машинной арифметики
- •1.4.1. Системы счисления
- •1.4.3. Представление вещественных чисел
- •1.4.4. Арифметические операции над числами с плавающей точкой
- •1.4.5. Удвоенная точность
- •1.4.6. Вычисление машинного эпсилон
- •2. Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений
- •Постановка задачи
- •2.2. Норма вектора
- •2.3. Скалярное произведение
- •2.4. Абсолютная и относительная погрешность вектора
- •2.5. Сходимость по норме
- •2.6. Норма матрицы
- •2.7. Обусловленность задачи решения системы линейных алгебраических уравнений
- •2.8. Метод Крамера
- •2.9. Матричный метод
- •2.10. Метод Гаусса
- •2.10.1. Схема единственного деления
- •2.10.4. Случай, когда выбор главных элементов не нужен
- •2.10.5. Масштабирование
- •2.12. Решение слау с помощью lu-разложения
- •2.13. Обращение матриц с помощью lu-разложения
- •2.14. Разложение симметричных матриц. Метод Холецкого (метод квадратных корней)
- •2.15. Метод прогонки
- •2.16. Метод исключения Жордана (Гаусса–Жордана)
- •2.17.1. Метод вращений
- •2.17.2. Метод отражений
- •2.18. Итерационное уточнение
- •2.19. Сингулярное разложение матрицы
- •2.19.1. Переопределенная система
- •2.19.2. Сингулярное разложение матрицы
- •2.19.4. Дополнительная информация о сингулярном разложении
- •2.20. Дополнительные замечания
- •3. Итерационные методы
- •3.1. Классические итерационные методы и релаксация
- •3.1.1. Методы Якоби и Гаусса–Зейделя
- •3.1.2. Ускорение сходимости релаксационных методов
- •3.2. Проекционные методы и подпространства Крылова
- •3.2.1. Общий подход к построению проекционных методов
- •3.2.2. Случай одномерных подпространств k и l
- •3.2.3. Два выбора подпространств
- •3.2.4. Подпространства Крылова
- •3.2.5. Базис подпространства Крылова. Ортогонализация Арнольди
- •3.2.6. Биортогонализация Ланцоша
- •3.3. Предобусловливание
- •3.3.1. Виды предобусловливания
- •3.3.2. Выбор структуры разреженности
- •3.4. Методы крыловского типа
- •3.4.1. Метод полной ортогонализации
- •3.4.2. Метод обобщенных минимальных невязок
- •3.4.3. Метод бисопряженных градиентов
- •3.4.4. Свободный от транспонирования метод квази-минимальных невязок
- •3.4.5. Стабилизированный метод бисопряженных градиентов
- •3.4.6. Метод квази-минимальных невязок
- •3.4.7. Квадратичный метод сопряженных градиентов
- •3.4.8. Симметричный случай
- •4. Использование итерационных методов при решении слау с плотной матрицей в анализе проводных антенн
- •4.1. Сравнение итерационных методов без использования предобусловливания
- •4.2. Сравнение итерационных методов при использовании предобусловливания
- •4.3. Оптимизация допуска обнуления при решении слау итерационным методом BiCgStab с предобусловливанием
- •4.4. Ускорение решения слау за счет снижения точности вычисления
- •Сравнение способов предфильтрации
1. Учет погрешностей приближенных вычислений
1.1. Источники и классификация погрешностей результата численного решения задачи
Для правильного понимания подходов и критериев, используемых при решении прикладной задачи с применением компьютера, очень важ-но с самого начала признавать, что получить точное значение решения практически невозможно и не в этом цель вычислений. Получаемое на компьютере решение x* почти всегда (за исключением некоторых весьма специальных случаев ) содержит погрешность, т.е. является приближен-ным. Невозможность получения точного решения следует уже из ограни-ченной разрядности компьютера.
Наличие погрешности решения обусловлено рядом причин. Перечис-лим их.
Математическая модель является лишь приближенным описанием ре-ального процесса. Характеристики процесса, вычисленные в рамках при-нятой модели, заведомо отличаются от истинных, причем их погреш-ность зависит от степени адекватности модели реальному процессу.
Исходные данные , как правило, содержат погрешности, поскольку они либо получаются в результате экспериментов (измерений), либо яв-ляются результатом решения некоторых вспомогательных задач.
Применяемые для решения задачи методы в большинстве случаев яв-ляются приближенными. Найти решение возникающей на практике зада-чи в виде конечной формулы возможно только в отдельных, очень упро-щенных ситуациях.
При вводе исходных данных в компьютер , выполнении арифметиче - ских операций и выводе результатов на печать производятся округления.
Пусть x – точное значение величины, вычисление которого является целью поставленной задачи. Соответствующая первым двум из указан-ных причин погрешность δн x называется неустранимой погрешностью. Такое название вызвано тем, что принятие математической модели и за-дание исходных данных вносит в решение погрешность, которая не мо-жет быть устранена далее. Единственный способ уменьшить эту погреш-ность – перейти к более точной математической модели и задать более точные исходные данные.
Погрешность δмx, источником которой является метод решения зада-чи, называется погрешностью метода, а погрешность δвx из-за округле-ний при вводе, выводе и вычислениях – вычислительной погрешностью.
8
Таким образом, полная погрешность результата решения задачи на ком-пьютере δx = x – x* складывается из трех составляющих: неустранимой погрешности, погрешности метода и вычислительной погрешности, т.е.
δx = δнx + δмx + δвx.
Будем далее исходить из предположения, что математическая модель фиксирована и входные данные задаются извне, так что повлиять на зна-чение величины δн x в процессе решения задачи действительно нельзя. Однако это совсем не означает, что предварительные оценки значения неустранимой погрешности не нужны. Достоверная информация о по-рядке величины δнx позволяет осознанно выбрать метод решения задачи и разумно задать его точность. Желательно, чтобы погрешность метода была в 2–10 раз меньше неустранимой погрешности. Большее значение δмx ощутимо снижает точность результата, меньшее – обычно требует увеличения затрат на вычисления, практически уже не влияя на значение полной погрешности. Иногда характер использования результата таков, что вполне допустимо, чтобы погрешность δмx была сравнима с δнx или даже несколько превышала ее.
Значение вычислительной погрешности (при фиксированных модели, входных данных и методе решения) в основном определяется характери-стиками используемого компьютера. Желательно, чтобы погрешность δвx была бы хоть на порядок меньше погрешности метода и совсем не жела-тельна ситуация, когда она существенно ее превышает.
Умение анализировать погрешности при решении прикладной задачи и соблюдать между ними разумный компромисс позволяет существенно экономить используемые ресурсы и требует высокой квалификации.