Заняття № 3. Закони Кеплера. Закон всесвітнього тяжіння

1. Супутник рухається по коловій орбіті навколо Землі на висоті 3628,8 км. За скільки часу він робить повний оберт?

2. З якою швидкістю повинен рухатися штучний супутник Землі на відстані h від її поверхні?

3. Визначити першу космічну швидкість.

4. Визначити другу космічну швидкість.

5. Як змінилося б прискорення вільного падіння на полюсі Землі, якщо її радіус збільшився б у k разів, а густина не змінилася?

6. Маса Місяця становить 0,0123 М_з, радіус Місяця - 0,2728 R_з. Визначити прискорення вільного падіння на полюсі Місяця.

7. На скільки млн. км повинна б зменшитися відстань від Землі до Сонця, щоб земний рік зменшився на 30 діб? Вважати, що Земля рухається по коловій орбіті радіусом 149,5 млн. км.

с₁- с₂ - ? Задачу можна розв‘язувати, виходячи з того, що сила с ₁= 149,5^.10⁶ км гравітаційного притягання Землі до Сонця надає їй Т₁= 365,26 доби доцентрового прискорення. Або ж можна відразу Т₂= 335,26 доби використати третій закон Кеплера.

Звідси с₂ = с₁

с₂ = 149,5 ^.10⁶ = 141,2 ^.10⁶ (км). с₁- с₂ = 8,3 ^.10⁶ км

Заняття № 4. Залежність ваги тіла від широти місця

1. Тіло масою m лежить на поверхні Землі в точці з широтою  . Яка вага

ц ього тіла ?

Р_-?

R_з=6371,2км

g = 9,81м/с

T=86164 c

Розглянемо тіло на поверхні

Землі відносно спостерігача,

який знаходиться поза Землею.

Тіло обертається разом із Землею

по колу радіуса r, а тому рухається з

доцентровим прискоренням а_д.

Зобразимо сили, які діють на тіло: F_г- гравітаційна сила, яка напрямлена вздовж радіуса до центра Землі, N- реакція опори земної поверхні, яка напрямлена перпендикулярно до земної поверхні. Напрям N не співпадає з вертикальним, оскільки Земля сплюснута біля полюсів і її екваторіальний радіус більший від полярного.

Запишемо закон руху тіла у векторній формі.

N+ F_г = m a_д (1)

Спроектуємо рівняння (1) на вертикальну вісь.

Ncos - F_г = - m а_д cos (2)

Відхилення N від вертикального напряму складає  = 0,0988⁰, тому cos 1. Вага тіла чисельно рівна реакції опори Р = N. Із (2) знаходимо

N = F_г - m а_д cos (3)

При обчисленнях можемо вважати Землю кулею радіусом R_з масою М_з, яка обертається навколо своєї осі з періодом Т. Тому

(4) а_д = ² r (5), де - кутова швидкість обертання Землі.  = , де Т- період добового обертання Землі. Радіус паралелі

r = R_з cos  . Враховуючи наведені співвідношення, отримаємо

Р_= N = G . Враховуючи, що прискорення вільного падіння на поверхні Землі g =G , отримаємо

Р_ = mg( 1 - cos² ). Проведемо обчислення, враховуючи, що Т=23год 56хв 4с = 86164 с:

Р_ = mg( 1 - cos²  ) = mg ( 1 - 0,00345 cos² )

Оскільки а_{д х} = а_д sin  = ² R_з sin  cos  = ² R_з sin 2 , тому лише на полюсі та екваторі а_{д х} = 0. В цих місцях висок напрямлений вздовж вертикалі.

Отримані в попередній задачі результати можна використати для розв‘язування такої задачі.

2. На скільки процентів зменшиться вага тіла, якщо його перевезти з полюса на екватор?

k -? Використовуючи вираз для Р_ з попередньої задачі знаходимо

_п = 90⁰ Р_п= mg P_e= P_п( 1- 0,00345). Тоді

_е = 0⁰ k = = 0,00345; k= 0,345%

Якщо ж вважати Землю еліпсоїдом обертання ( R_п= 6356780 м, R_e = 6378160 м), то збільшення g від екватора до полюса становитиме 0,052 м/с² і g _e = 9,78 м/с², а g_п = 9,832 м/с².

3. Визначте вагу вантажу на полюсі, якщо на широті 45⁰ він важить 1890 Н.

4. Визначте вагу вантажу на екваторі, якщо на широті 45⁰ він важить 1890 Н.

5. Вертоліт піднявся в повітря з вантажем вагою 3000 Н. Як зміниться вага вантажу на висоті 6 км?

6. Яку потужність має водоспад заввишки 20 м, якщо витрата води в річці становить 400 м³/с?