3.Операции над множествами: объединение, пересечение, разность, дополнение. Понятие универсума.
Пересечением А и Б называются множества, включающие в себя такие элементы, которые одновременно являются элементами как множества а, так и множества Б.
От 1 до 5 – А
От 3 до 7 - Б
Пересечение – 3, 4, 5 {3, 4, 5}
Значок пересечения - ∩
Пустое множество - Ø
Объединением А и Б называется множество, включающее в себя как все элементы А, так и все элементы Б.
Значок объединения – U
От 1 до 4 – А
2, 4, 6 – Б
Объединение – 1, 2, 3, 4, 6
Разностью А и Б называют множества, включающие те элементы А, которые не являются элементами Б.
\ - значок разности
От 1 до 4 – А
2, 4, 6 – Б
Разность А\Б – {1,3} При вычитании смотреть наверх
Разность Б\А – {6} При вычитании смотреть наверх
Универсум – самое большое множество, такое множество, что все остальные рассматриваемые множества являются его подмножеством. Обозначается U (все живые организмы)
Дополнением А называется разность между U и А (U\А), т.е. совокупность всех тех элементов U, которые не принадлежат А. (Все живые организмы, кроме рыбок).
Черточка над множеством – дополнение.
От 1 до 4 – А
Его дополнение цифры от 5 до бесконечности.
4.Алгебра множеств: свойства операций над множествами.
Свойство операций над множествами
Справедливы следующие свойства операций над множествами:
,
где 0 -пустое множество.
,
где 0 - пустое множество.
,
если 
,
если
5.Упорядоченные пары и энки. Прямое произведение множеств.
Упорядоченная пара – совокупность из двух элементов, в которой ясно, какой из элементов является первым, а какой – вторым.
Прямое произведение множеств А и Б называется множество всех упорядоченных пар таких. Что первый элемент принадлежит А, а второй принадлежит Б. (Типа умножения)
Совокупность множества картеж в степени Н называется отношение степени Н над множеством.
6.Определение отношений. Отношение как подмножество прямого произведения. Отношение как описание соответствий между объектами.
Подмножество прямого произведения: Отношение между А и Б это подмножество прямого произведения А и Б, т.е. совокупность всех пар таких, что первый элемент принадлежит А, второй принадлежит Б и между элементами выполняется некоторое условие.
Соответствий между объектами:
7.Высказывание. Логическая структура сложных высказываний. Истинность и ложность высказываний.
Не всякое выражение есть высказывание. Высказывание должно быть повествовательное предложение, истина/ложь. Где есть Х не есть высказывание. Высказывание можно объединить в сложное высказывание. Высказывания могут быть только истинными и ложными. Истина – 1, ложь – 0.
8.Алгебра высказываний.
Алгебра высказываний -
Операция |
Обозначение |
Другие обозначения |
Дизъюнкция ("или" неразделительное) Конъюнкция ("и одновременно") Отрицание Импликация ("влечет" или "если..., то...") Эквиваленция ("равносильно") |
|
|
p |
|
0 1 |
1 0 |
p q |
|
|
|
|
0 0 0 1 1 0 1 1 |
0 1 1 1 |
0 0 0 1 |
1 1 0 1 |
1 0 0 1 |
x, p, q, r, ... - высказывания,
p = 1 - p - истинное высказывание,
p = 0 - p - ложное высказывание,
- отрицание высказывания p.
Любая современная математическая теория начинается с соглашений об основных понятиях этой теории, которые не определяются через другие понятия, и основных положениях, которые принимаются без доказательств, как данные практической деятельности человека, как всем известное. А, далее, построение ведется по законам логики и внутренним потребностям самой этой логики математической теории.
В математической логике, как математической теории, основными неопределяемыми понятиями являются понятия : суждение, истина, ложь.Суждение не может быть одновременно истинным и ложным. Например, все предложения, которые произносит человек - являются суждениями.
Высказыванием называется суждение, которому можно приписать истину или ложь.Например, суждение - "Снег белый" - есть истинное высказывание; суждение - "Число 6 делится на 4" - ложное высказывание; суждение - "Который час?" - не является высказыванием.
Из
высказываний А,
В, ... можно
построить новые высказывания с помощью
логических операций 
.
Дадим определение этих операций.
Отрицанием высказывания А называется
такое высказывание, обозначаемое 
(
читается "не А"
), которое является истинным, если А -
ложно и ложным, если А -
истинно. Эту ситуацию можно изобразить
с помощью таблицы
истинности.
A |
|
и |
л |
л |
и |
Конъюнкцией высказываний А и В называется
высказывание, обозначаемое А 
В (
читается "А и В"
), которое истинно, если истинны оба
высказывания А и В,
и ложно в остальных случаях.
A |
B |
A B |
и |
и |
и |
и |
л |
л |
л |
и |
л |
л |
л |
л |
Дизъюнкцией высказываний А и В называется
высказывание, обозначаемое А 
В (
читается "А или В"
), которое ложно, если ложны оба эти
высказывания А и В,
и истинно в остальных случаях.
A |
B |
A B |
и |
и |
и |
и |
л |
и |
л |
и |
и |
л |
л |
л |
Импликацией высказываний А и В называется
высказывание, обозначаемое A 
B (
читается "из А следует В"
или "если А,
то В"
), которое ложно, если А истинно,
а В -
ложно, и истинно в остальных случаях.
A |
B |
A B |
и |
и |
и |
и |
л |
л |
л |
и |
и |
л |
л |
и |
Всем
теоремам Т в
математике, как высказываниям, можно
придать вид импликации двух высказываний
:
T 
( A
B ). Высказывание А называют условием теоремы Т,
а высказывание В называют заключением теоремы Т.
Или высказывание Вназывают необходимым
условием для
высказывания А,
а высказывание А называют достаточным
условием для
высказывания В в
теореме T
( A
B )
Пример 1.1.1 T "Все натуральные числа, делящиеся на 4, делятся на 2", или, иначе T "Если число x делится на 4, то число x делится на 2". Здесь приведена импликация, которая истинна, и высказывание B "число x делится на 2" есть необходимое условие для высказывания A "число x делится на 4", а высказывание А является достаточным условием для высказывания В в этой теореме Т.
Эквиваленцией высказываний А и В называется
высказывание, обозначаемое A 
B (
читается "А эквивалентно В"
), которое истинно, когда
высказывания А и В истинны
или ложны одновременно
(
то есть их таблицы истинности совпадают
).
Итак,
при помощи логических операций построено
множество высказываний, которое
называют алгеброй
высказываний.