Завдання №3. Знаходження коренів нелінійних рівнянь

Задано нелінійне рівняння .

Основні методи відокремлення коренів нелінійних рівнянь.

У відповідності з графічним методом необхідно побудувати графік заданої функції на всьому заданому проміжку [А,В], після чого візуально локалізувати точки його перетину з віссю Ох. Далі в околі точок перетину треба довільним способом вибрати вузькі проміжки [а,Ь] так, щоб на кожному з них знаходилась лише одна точка перетину графіка з віссю. Один із недоліків даного методу - його громіздкість. Другий недолік - ненадійність -пов’язаний з можливістю втратити корені при неякісній побудові графіка.

Більш зручним слід вважати табличний метод, оскільки він досить формальний і зводиться до послідовності простих обчислювальних операцій. У відповідності з цим методом, на всьому широкому проміжку [А,В] визначають знаки функції з певним кроком к. З одержаної таблиці знаків вибирають вузькі проміжки [а,Ь], на кінцях яких функція має протилежні знаки. Чим дрібніший крок Н, тим надійніше будуть відокремлені корені, тим менша ймовірність їх втратити.

Уточнення коренів нелінійних рівнянь.

Розглянемо уточнення кореня методом ділення навпіл. Ідея методу полягає в тому, що за один його крок вузький проміжок вдається звузити вдвоє. Для цього достатньо проаналізувати знаки функції на лівому кінці відрізка і в його середині. Різні знаки є свідченням того, що шуканий корень знаходиться саме на ньому, і тому праву половину відрізка можна відкинути. У протилежному випадку можна відкинути ліву половину відрізка.

Припустимо, що на вузькому проміжку [а,Ь] знаходиться єдиний корінь рівняння . Треба знайти його значення із заданою точністю ε . Це означає, що шуканий корінь знаходиться у проміжку, ширина якого не перевищує ε, і тоді значенням кореня можна вважати середину цього проміжка.

При формулюванні алгоритму пошуку кореня нам буде зручно користуватись функцією „знак х” , яка визначається наступним чином:

Алгоритм уточнення:

1. Зафіксувати початкові значення а і b, знайти знак функції в точці а, тобто .

2. Знайти координати середини проміжку .

3. Якщо , то вважати коренем рівняння і припинити обчислення, інакше обчислення продовжити.

4. Знайти знак функції в точці , тобто .

5. Якщо , то вважати коренем рівняння і припинити обчислення, інакше обчислення продовжити.

6. Знайти знак добутку .

7. Якщо , то значення b замінити на значення , якщо , то значення a замінити на значення .

8. Повернутися на пункт 2.

Знайдене значення кореня доцільно перевірити. Для цього його треба підставити у задане рівняння і обчислити значення функції. Якщо значення функції виявилось близьким до нуля, то значення кореня можна вважати вірним.

3.1.Протабулювати функцію та побудувати її графік .

3.2.Відокремити корені нелінійного рівняння графічним та аналітичним способом (табличним), тобто вказати проміжки, на яких точно є корені.

3.3. Уточнити корені нелінійних рівнянь (методом ділення навпіл).