3.2. Средняя мощность и действующее значение переменного тока

М

Рис. 3. 1. Графическое изображение переменного синусоидального тока

гновенная мощность синусоидального тока является переменной величиной

p(t)=Ri²(t), (3. 5)

поэтому при оценке энергии, выделяемой в нагрузке за период, используют среднюю мощность

. (3.6)

Для расчета средней мощности вводят понятие действующего (эффективного) значения переменного тока I. Действующим называется такое значение переменного тока, которое вызывает выделение в активной нагрузке R энергии, равной энергии, выделяющейся от протекания эквивалентного постоянного тока. То есть средняя мощность переменного тока Р_ср должна равняться мощности постоянного тока P=RI². Отсюда

,

, . (3. 7)

При вычислении действующего значения напряжения получается аналогичный результат: .

3.3. Комплексное представление синусоидального тока

Д

Рис. 3. 2. Связь между синусоидальным током и его комплексным представлением

ля расчета электрических цепей синусоидального тока используется символический метод, основанный на комплексном представлении тока. Известно, что синусоидальная величина может быть представлена вектором на комплексной плоскости (рис. 3. 2, а, б). При этом значение синусоидальной величины в любой момент времени может быть определено как проекция вектора

(3. 8)

на ось мнимых чисел. То есть действительные значения тока получают как мнимую часть от комплексного числа (рис. 3. 2, а):

(3. 9)

Значение называют комплексом мгновенного значения тока. Так как синусоидальная функция в любой момент времени t может быть определена по известным параметрам I_m, ω, φ, то все расчеты производят для момента времени t=0. Тогда ωt=0 и комплекс мгновенных значений преобразуется в комплекс амплитуды тока

, . (3. 10)

При расчетах часто используют комплекс действующего значения тока. Он, как и действующее значение (3. 7), отличается от комплекса амплитудного значения тока в раз ( ). Комплекс амплитуды можно представить в алгебраической и тригонометрической формах:

, , . (3. 11)

Модуль I_m и аргумент φ комплексного числа могут быть найдены по формулам

Рис. 3. 3. Пример графического сложения комплексных токов

. (3. 12)

Сложение и вычитание комплексных чисел необходимо проводить в алгебраической ( , ) форме, а умножение и деление – в показательной ( , ).

При сложении комплексных токов одной частоты отдельно складываются действительные и мнимые части:

.

Сложение комплексных значений токов может быть проведено на комплексной плоскости (рис. 3. 3).

При умножении (делении) комплексных токов одной частоты амплитуды отдельных токов умножаются (делятся), а фазы складываются (вычитаются):

.

Необходимо отметить, что умножение комплексной величины на мнимую единицу приводит к повороту исходного вектора на угол 90° против часовой стрелки на комплексной плоскости (рис. 3. 4, а):

. (3. 13)

Д

Рис. 3. 4. Умножение (а) и деление (б) комплексного тока на мнимую единицу

еление комплексной величины на мнимую единицу приводит к повороту исходного вектора на угол 90° по часовой стрелке на комплексной плоскости (рис. 3. 4, б)

. (3. 14)