1. Гармонические функции. Основы метода комплексных амплитуд

1. Найдем амплитуды, действующие значения, частоты, угловые частоты, периоды и начальные фазы гармонических токов и напряжений.

i₁(t)=100sin628t A

I_m=100 (A), w=628 рад/с

I=0.707*100=70.7 (A)

ƒ=628/2π=100 (Гц)

T=1/100=0.01 (с)

φ= φ'- π/2

φ= - π/2

i₂(t)=200cos(1000t-15°) A

I_m=200 (A), w=1000 рад/с

I=0.707*200=141.4 (A)

ƒ=1000/2π=159 (Гц)

T=1/159=0.0063 (с)

φ=-15°

u₁(t)=0.15sin(10t+90°) мB

U_m=0.15 (мВ), w=10 рад/с

U=0.707*0.15=0.106 (мB)

ƒ=10/2π=1.6 (Гц)

T=1/1.6=0.625 (с)

φ= φ'- π/2

φ= 0°

u₂(t)=14cos(300t+π/4) B

U_m=14 (A), w=300 рад/с

U=0.707*14=9.9 (B)

ƒ=300/2π=47.7 (Гц)

T=1/47.7=0.021 (с)

φ= 45°

2. Определим мгновенные комплексы, комплексные амплитуды, комплексные действующие значения для заданных в пункте 1.1 гармонических токов и напряжений.

i₁=100e^j(628t-π/2) А=100[cos(628t-π/2)+jsin(628t-π/2)] А

i₂=200e^{j(1000t-15°)} А=200[cos(1000t-15°)+jsin(1000t-15°)] А

u₁=0.15e^j10t мВ=0.15[cos10t+jsin10t] мВ

u₂=14e^j(300t+45°) В=14[cos(300t+45°)+jsin(300t+45°)] В

İ_m1=100e^-jπ/2 А İ₁=70.7e^-jπ/2 А

İ_m2=200e^-j15 А İ₂=141.4e^-j15 А

Ů_m1=0.15 мВ Ů₁=0.106 мВ

Ů_m2=14e^j45 В Ů₂=9.9e^j45 В

3. Перейдем от алгебраической формы записи комплексных действующих значений токов и напряжений к показательной форме записи их комплексных амплитуд.

I₁=0.1+j0.3 A

׀ İ₁׀=0.32 (А)

tgφ=3 φ=arctg3=71.6°

İ₁=0.32e^71.6j А

I₂=-10+j25 мк A

׀ İ₂׀=26.9 (мкА)

tgφ=2.5 φ=90°+arctg2.5=152.8°

İ₂=26.9e^152.8j мкА

U₁=-8-j6 мB

׀ Ů₁׀=10 (мВ)

tgφ=0.75 φ=180°+arctg0.75=216.9°

Ů₁=10e^-143.1j мВ

U₂=j3 B

׀ Ů₂׀=3 (В)

tgφ=∞ φ=arctg∞=90°

Ů₂=3e^90j В

4. Запишем выражения для мгновенных значений токов и напряжений, соответствующих выражениям комплексных амплитуд токов и напряжений, полученным в пункте 1.3. Частота токов и напряжений одинакова и равна 1000 Гц.

i(t)=A_mcos(2πƒt+φ) A

i₁(t)=1.41*0.32cos(2π*1000t+71.6°) A=0.45cos(6280t+71.6°) А

i₂(t)=1.41*26.9cos(2π*1000t-68.2°) A=37.9cos(6280t-68.2°) А

u₁(t)=1.41*10cos(2π*1000t+36.9°) мВ=14.1cos(6280t+36.9°) мВ

u₂(t)=1.41*3cos(2π*1000t+90°) В=4.23cos(6280t+90°) В

5. Построим временные диаграммы мгновенных токов и напряжений, определённых в пункте 1.4.

Для тока i₁(t)= 0.45cos(6280t+71.6°) А временная диаграмма представлена на рисунке 1.1.

Рис. 1.1.

Для тока i₂(t)= 37.9cos(6280t-68.2°) А временная диаграмма представлена на рисунке 1.2.

Рис. 1.2.

Для напряжения u₁(t)=14.1cos(6280t+36.9°) мВ временная диаграмма представлена на рисунке 1.3

Рис. 1.3.

Для напряжения u₂(t)=4.23cos(6280t+90°) В временная диаграмма представлена на рисунке 1.4.

Рис. 1.4.

2. Анализ электрических цепей методом комплексных амплитуд.

Рис. 2.1.

E₁=20sin(10³t+60)=20cos(10³t-30) B; L₁=20 мГн; C₁=10000 пФ;

E₂=50cos(10³t+45) B; L₂=300 мГн; С₂=400 пФ;

R₁=5 Oм; L₃=50 мГн;

R₂=100 Oм; L₄=300 мГн;

R₃=200 Oм; L₅=10 мГн;

R₄=10 Oм.

Рассчитаем мгновенные значения токов и напряжений схемы (рис. 2.1). Для начала заменим схему цепи (рис. 2.1) комплексной схемой замещения (рис 2.2). Будем считать, что токи и напряжения ветви направлены одинваково.

Число ветвей р=5, число узлов q=3, следовательно, основная система уравнений электрического равновесия содержит 2р=10 уравнений.

Составим систему уравнений.

На основании первого закона Кирхгофа составляем m=q-1=2 уравнений баланса токов :

(1) - - =0;

(2) - - =0;

На основании второго закона Кирхгофа составляем n=р-q+1=3 уравнений баланса напряжений.

(3) ;

(4) ;

(5) .

Запишем компонентные уравнения, связывающие токи и напряжения ветвей:

= - ;

= ;

= ;

= ;

=- - ;

Запишем Е₁ и Е₂ в комплексной форме.

=17.6-j9.6 B;

=34.8+j35.9 B.

Найдем комплексное сопротивление ветвей.

=R₁+jL₁=5+j10³*20*10^-3=5+j20 Ом;

= R₂+jL₂=100+j10³*300*10^-3=100+j300 Ом;

= R₃+j[L₃-1/(C₁)]=200+j[10³*50*10^-3-1/(10³*10000*10^-12)]=200-j99950 Ом;

= j[L₄-1/(C₂)]=j[10³*300*10^-3-1/(10³*400*10^-12)]=-j2499700 Ом;

=R₄+jL₅=10+j10³*10*10^-3=10+10j Ом.

Подставляя компонентные уравнения в уравнения баланса напряжений, получаем в сочетании с уравнениями баланса токов сокращенную систему уравнений.

- + =0; - = ;

+ - =0; + - =0;

- - - =0; - - = ;

- - =0; - - =0;

- - =0; - - =0;

Все расчеты выполнены MathCAD 2001 Rus.

=0.011+j0.067, A; = -18.884+j10.157, B;

=0.012+j0.067, A; =-18.884+j10.157, B;

=-0.00046+j0.00016, A; = 15.91+j46.054, B;

=0.000014-j0.000014, A; = -34.794-j35.897, B;

=-0.00047+j0.00017, A. = -34.794-j35.897, B.

Переведем из комплексной формы в гармоническую функцию полученные токи и напряжения.

=0.011+j0.067, A;

=arctg(0.067/0.011)= 80.7;

=68ej^80.7j мA;

=68cos(10³t+80.7)+68jsin(10³t+80.7), мA;

i₁=Re[ ]= 68cos(10³t+79.8), мA.

=0.012+j0.067, A;

=arctg(0.067/0.012)= 79.8;

=68e^j79.8 мA;

=68cos(10³t+79.8)+68jsin(10³t+79.8), мA;

i₂=Re[ ]= 68cos(10³t+79.8), мA.

=-0.00046+j0.00016, A;

= /2+arctg(0.00016/0.00046)= 109.2;

=490e^j109.2 мкA;

=490cos(10³t+109.2)+490jsin(10³t+109.2), мкA;

i₃=Re[ ]= 490cos(10³t+109.2), мкA.

=0.000014-j0.000014, A;

= -arctg(0.000014/0.000014)= -45;

=20e^-j45 мкA;

=20cos(10³t-45)+20jsin(10³t-45), мкA;

i₄=Re[ ]= 20cos(10³t-45), мкA.

I₅=-0.00047+j0.00017, A.

= /2+arctg(0.00017/0.00047)= 109.9;

I₅=500e^j109.9 мкA;

I₅=500cos(10³t+109.9)+500jsin(10³t+109.9), мкA;

i₅=Re[I₅]= 500cos(10³t+109.9), мкA.

= -18.884+j10.157, B;

=/2+arctg(10.157/18,884)= 118.3;

=21.4e^j118.3 B;

=21.4cos(10³t+118.3)+21.4jsin(10³t+118.3), B;

u₁=Re[ ]= 21.4cos(10³t+118.3), B.

=-18.884+j10.157;

=/2+arctg(10.157/18.884)= 118.3;

=21.4e^j118.3 B;

=21.4cos(10³t+118.3)+21.4jsin(10³t+118.3), B;

u₂=Re[ ]= 21.4cos(10³t+118.3), B.

= 15.91+j46.054, B;

= arctg(46.054/15.91)= 70.9;

=48.7e^j70.9 B;

=48.7cos(10³t+70.9)+48.7jsin(10³t+70.9), B;

u₃=Re[ ]= 48.7cos(10³t+70.9), B.

= -34.794-j35.897, B;

= +arctg(-35.897/-34.794)= 225.9;

=50e^j225.9 B;

=50cos(10³t+225.9)+50jsin(10³t+225.9), B;

u₄=Re[ ]= 50cos(10³t+225.9), B.

= -34.794-j35.897, B.

= +arctg(-35.897/-34.794)= 225.9;

=50e^j225.9 B;

=50cos(10³t+225.9)+50jsin(10³t+225.9), B;

u₅=Re[ ]= 50cos(10³t+225.9), B.

Полученные результаты:

i₁= 68cos(10³t+79.8), мA. u₁= 21.4cos(10³t+118.3), B.

i₂= 68cos(10³t+79.8), мA. u₂= 21.4cos(10³t+118.3), B.

i₃= 490cos(10³t+109.2), мкA. u₃= 48.7cos(10³t+70.9), B.

i₄= 20cos(10³t-45), мкA. u₄= 50cos(10³t+225.9), B.

i₅= 500cos(10³t+109.9), мкA. u₅= 50cos(10³t+225.9), B.

3. Идеализированные пассивные элементы при гармоническом воздействии.

u(t)=6cos1000t, B i(t)=0.6cos(1000t-45), mA.

1. =_u-_I=0-(-45)=45.

Так как реактивная мощность цепи положительная(0<</2), то сопротивление имеет резистивно-индуктивный характер.

;

;

а) последовательное соединение.

z=R+jL;

7071=L*1000*6.28

R=7.07 Ом

б) параллельное соединение.

=7071j;

=7071;

Все расчеты выполнены Mathcad 2000 Professional.

L=14.1 Гн;

R=14100 Ом.

2. Найдем:

1. мгновенную мощность.

p=ui=6cos1000t*0,0006cos(1000t-45)=0,0018[cos(2000t-45)+cos45]= =0.0018cos(2000t-45)+0.0013, Bт.

2. полную мощность.

P_S=I_mU_m=6*0.0006=0.0036 ВA.

3. активную мощность.

=_u-_I=0-(-45)=45.

P_A= P_Scos=0.0036cos45=0.0025 Вт

4. реактивную мощность.

P_Q= P_Ssin=0.004sin45=0.0025 вар.

5. Комплексную мощность.

P_S=P_Se^j=0.0036e^j45 ВA.

4. Простейшие линейные цепи при гармонических воздействиях.

u=4cos(10⁶+60) B;

R=4 Oм;

L=0.2 мГн;

С=0.1 мкФ

1. параллельная RL-цепь

Рис.4.1.а.

Найдем комплексное входное сопротивление цепи.

 ; Ом

Рис.4.2.а.

Найдем комплексные действующие значения токов и напряжений на элементах цепи. Для определения комплексных действующих значений токов и напряжений на элементах цепи запишем комплексное действующее напряжение, приложенное к зажимам цепи в показательной форме:

В

Аналогично запишем комплексное входное сопротивление цепи:

Ом

На основании закона Ома:

А

Так, как соединение параллельное, то: .

А

А

Рис.4.3.а.

б) последовательная RC-цепь.

Рис.4.1.б.

Найдем комплексное входное сопротивление цепи.

Ом.

Рис.4.2.б.

Запишем комплексное действующее значение напряжения и комплексное входное сопротивление в показательной форме:

Ом

Ом

На основании закона Ома: А

Найдем комплексные действующие значения токов и напряжений на элементах цепи. Так как цепь последовательная, то: А.

В

В

Рис.4.3.б.

в) параллельная RLC-цепь

Рис 4.1.в.

Ом^-1

Ом

Запишем комплексное действующее значение напряжения и комплексное входное сопротивление в показательной форме:

Ом

В

На основании закона Ома: А

Рис.4.2.в.

Найдем комплексные действующие значения токов и напряжений на элементах цепи. Так как цепь параллельная, то

В

А

А

А

Рис.4.3.в.

5. Преобразование электрических цепей

5.1 Используя эквивалентные преобразования участков цепей определим комплексное входное сопротивление цепи, изображенной на рисунке 5.1. Параметры элементов цепи и частота гармонического воздействия указаны в таблице 5.1.

Рис. 5.1.

Таблица 5.1.

Частота, кГц	Параметры элементов
	Z1=Z2	Z3	Z4	Z5=Z6	Z7=Z8	Z9=Z10	Z11=Z12
3	R=50кОм	R=50кОм	L=50мГн	R=50кОм	R=50кОм	R=500Ом	R=2кОм

Определим комплексные сопротивления Z₁…Z₁₂:

Z₁=Z₂= R= 50кОм

Z₃= R=50 кОм

Z₄=j2πfL=j*2π*50*10^-3*3*10³=j300π=j0.942 кОм

Z₅=Z₆= R=50 кОм

Z₇=Z₈= R=50 кОм

Z₉=Z₁₀= R=0.5 кОм

Z₁₁=Z₁₂= R=2кОм

Преобразуем схему. Так как Z8 и Z11, Z10 и Z12 соединены последовательно, то схема примет вид (рис. 5.2.):

Рис. 5.2.

кОм

кОм

Применим преобразование звезда-треугольник к группам сопротивлений Z₁, Z₄, Z₂; Z_8,11, Z₆, Z₃; Z₅, Z₇, Z_10,12. Полученная схема примет вид (рис. 5.3.):

Рис. 5.3.

кОм

кОм

кОм

кОм

кОм

кОм

кОм

кОм

кОм

Так как сопротивления Z_{6 3} и Z_{1 4}, Z_{8,11 6} и Z₉ и Z_10,12, Z₄₂ и Z₇₅ соединены параллельно, то схема примет вид (рис. 5.4.):

Рис. 5.4.

кОм

кОм

кОм

Применим преобразование звезда-треугольник к сопротивлениям Z¹, Z², Z³. полученная схема примет вид (рис. 5.5.):

Рис. 5.5.

кОм

кОм

кОм

Сопротивления Z_38,11 и Z²³, Z¹² и Z_510,12, Z₂₁ и Z³¹ соединены параллельно, поэтому схема (рис. 5.5.) примет следующий вид (рис. 5.6.):

Рис. 5.6.

кОм

кОм

кОм

Сопротивления Z_I и Z_II соединены последовательно, поэтому схема (рис. 5.6.) преобразуется в эквивалентную схему (рис. 5.7.):

Рис. 5.7.

кОм

кОм

Преобразую схему (рис. 5.7.), получаем схему (рис. 5.8.) с одним эквивалентным сопротивлением:

Рис. 5.8.

Так как сопротивления Z_ЭI и Z_ЭII соединены параллельно, то Z_экв будет равно:

кОм

5.2 Определим входное сопротивление цепи, схема которой изображена на рис. 5.9. Величины параметров элементов цепи приведены в таблице 5.2.

Рис. 5.9.

Таблица 5.2.

Величины параметров элементов
R1, Ом	R2, Ом	R3, Ом	R4, Ом	R5, Ом	R6, Ом	R7, Ом
10	10	10	10	100	100	100

Запишем сопротивление цепи (рис. 5.9.) в виде непрерывной дроби:

Ом

Вывод:

• каждой гармонической функции времени можно единственным образом поставить в соответствие комплексное число (комплексную амплитуду), которое можно рассматривать как изображение этой гармонической функции на плоскости;

• линейным операциям над гармоническими функциями времени соответствуют операции над их комплексными амплитудами, причем операции дифференцирования и интегрирования заменяются операциями умножения и деления. Эти свойства комплексных изображений гармонических функций позволяют существенно упростить анализ линейных цепей;

• комплексная схема замещения цепи может быть получена из схемы замещения для мгновенных значений всех идеализированных пассивных двухполюсников их комплексными сопротивлениями (проводимостями) и всех токов и напряжений – их комплексными изображениями;

• законы Кирхгофа были сформулированы только для мгновенных значений комплексных амплитуд и комплексных действующих значений токов и напряжений;

• методы формирования уравнений электрического равновесия цепи, основанные на непосредственном применении законов Кирхгофа, позволяют уменьшит число одновременно решаемых уравнений;

• комплексные сопротивления и проводимости идеализированных пассивных элементов линейных цепей не зависит от амплитуды (действующего значения) и начальной фазы внешнего воздействия и определяются только параметрами элементов и частотой внешнего воздействия;

• уравнения, описывающие процессы в параллельной RLC-цепи, подобны по структуре уравнениям электрического равновесия последовательной RLC-цепи и могут быть получены одно из другого путем замены тока на напряжение, проводимости на сопротивление, емкости на индуктивность. Следовательно, параллельная и последовательная RLC-цепи являются дуальными. Векторные диаграммы дуальных цепей также могут быть получены одни из других путем упомянутых замен.