1. Основы анализа алгоритмов

1.1. Сравнительные оценки алгоритмов

При использовании алгоритмов для решения практических задач мы сталкиваемся с проблемой рационального выбора алгоритма решения задачи, так как одну и ту же задачу могут решать много алгоритмов.

Прежде чем анализировать эффективность алгоритма нужно доказать, что данный алгоритм правильно решает задачу. В противном случае вопрос об эффективности не имеет смысла.

При анализе алгоритма определяется количество "времени", необхо­димого для его выполнения. Это не реальное число секунд или других проме­жут­ков времени, а приблизительное количество операций, выполняемых алго­ритмом. Количество операций и измеряет относительное время выполнения алгоритма.

"Время" при анализе - вычислительная сложность алгоритма. Фактическое количество секунд, необходимое для выполнения на компьютере, непригодно для анализа, поскольку нас интересует только относительная эффективность алгоритма. (Алгоритм не становится лучше, если его перенести на более быстрый компьютер.)

На самом деле и фактическое количество операций на тех или иных входных данных не представляет большого интереса и не очень много сообщает об алгоритме. Нас будет интересовать зависимость количества операций конкретного алгоритма от размера входных данных. Можно сравнивать алгоритмы по скорости роста количества операций. Именно скорость роста играет ключевую роль, хотя для сравнительного анализа могут быть необходимы и более детальные оценки.

Таким образом, решение проблемы выбора связано с построением системы сравнительных оценок, которая в свою очередь существенно опирается на формальную модель алгоритма.

Будем рассматривать в дальнейшем, придерживаясь определений Поста, применимые к общей проблеме, правильные и финитные алгоритмы, т.е. алгоритмы, дающие 1-решение общей проблемы. В качестве формальной системы будем рассматривать абстрактную машину, включающую процессор с фон- Неймановской архитектурой, поддерживающий адресную память и набор «элементарных» операций соотнесенных с языком высокого уровня.

В целях дальнейшего анализа примем следующие допущения:

• каждая команда выполняется не более чем за фиксированное время;

• исходные данные алгоритма представляются машинными словами по  битов каждое.

Конкретная проблема задается N словами памяти, таким образом, на входе алгоритма – N_ = N* бит информации. Отметим, что в ряде случаев, особенно при рассмотрении матричных задач, N является мерой длины входа алгоритма, отражающей линейную размерность.

Программа, реализующая алгоритм для решения общей проблемы, состоит из М машинных инструкций по _м битов – М_ = М* _м бит информации.

Кроме того, алгоритм может требовать следующих дополнительных ресурсов абстрактной машины:

• S_d – память для хранения промежуточных результатов;

• S_r – память для организации вычислительного процесса (память, необходимая для реализации рекурсивных вызовов и возвратов).

При решении конкретной проблемы, заданной N словами памяти, алгоритм выполняет не более чем конечное количество «элементарных» операций абстрактной машины в силу условия рассмотрения только финитных алгоритмов. В связи с этим введем следующее определение:

Определение 1.1. Трудоёмкость алгоритма.

Под трудоёмкостью алгоритма для данного конкретного входа D – f_А(D), будем понимать количество «элементарных» операций, совершаемых алгоритмом, для решения конкретной проблемы в данной формальной системе.

Комплексный анализ алгоритма может быть выполнен на основе комплексной оценки ресурсов формальной системы, требуемых алгоритмом для решения конкретных проблем. Очевидно, что для различных областей применения веса ресурсов будут различны, что приводит к следующей комплексной оценке алгоритма:

_c₁ * f_А (D) + c₂ *  + c₃ * S_d + c₄ * S_r, где c_i – веса ресурсов.