
- •1. Векторы. Координаты векторов и линейные операции над векторами
- •2. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов
- •1. Общее уравнение плоскости и уравнение в отрезках
- •2. Особые случаи расположения плоскости в пространстве
- •3. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. Угол между двумя плоскостями
- •4. Решение различных задач на плоскость
- •5. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости
- •6. Прямая в пространстве
- •1. Матрицы и действия над ними. Матрицы специального вида
- •2. Определители матрицы и их свойства
- •3. Обратимость матриц. Вычисление обратной матрицы
- •4. Ранг матриц. Теорема о базисном миноре
- •1. Элементарные преобразования и приведение матриц к ступенчатому виду
- •2. Линейные системы алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли
- •3. Линейные пространства и базис. Структура общего решения однородной системы уравнений
- •4. Структура общего решения неоднородной системы уравнений. Алгоритм метода Гаусса построения общего решения линейной алгебраической системы уравнений
- •1. Линейные системы уравнений с квадратной матрицей. Правило Крамера
- •2. Линейный оператор и его матрица в фиксированном базисе. Алгебра линейных операторов и ее связь с алгеброй матриц
- •1.Изменение координат вектора и матрицы оператора при переходе к новому базису
- •2. Ядро и образ линейного оператора
- •3. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Матрица оператора в базисе из собственных векторов
3. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Матрица оператора в базисе из собственных векторов
Пусть
дан линейный оператор
(
линейное
пространство над числовом полем 4
).
Определение
2.
Вектор
называется собственным
вектором, соответствующим собственному
значению
,
если: а)
б)
Совокупность всех различных
собственных значений
оператора
называют спектром
оператора
.
Обозначение:
Например,
если
матрица
то вектор
является собственным вектором этого
оператора, соответствующим собственному
значению
так как
При этом
Отметим
очевидное свойство собственных векторов:
если
собственный
вектор оператора
соответствующий собственному значению
то
тоже
собственный вектор оператора
соответствующий собственному значению
В ряде случаев, выбирая постоянную
можно
упростить вид собственных векторов.
Свойства собственных векторов.
1)
собственные векторы
соответствующие различным собственным
значениям
линейно независимы.
2) все собственные векторы оператора , соответствующие одному и тому же собственному значению , образуют линейное подпространство в (его называют собственным пространством оператора отвечающим собственному значению ).
3)
В пространстве
любой линейный оператор имеет хотя бы
один собственный вектор.
Опишем
теперь, как вычисляются собственные
векторы и собственные значения.
Зафиксируем в пространстве
некоторый базис
и вычислим матрицу
оператора
в этом базисе. Тогда операторное
уравнение
(с учетом того,
где
)
можно записать в матричном виде
Эта
система должна иметь нетривиальное
решение
поэтому ее определитель должен равняться
нулю
Определитель
(5) называется характеристическим
определителем матрицы
( или оператора
). Раскрывая
его, получим так называемое
характеристическое
уравнение
,
решая которое, найдем собственные
значения
матрицы
( или оператора
) . Положив в (4)
и решив полученную алгебраическую
систему уравнений относительно
вектора-столбца
, найдем все собственные векторы
соответствующие собственному значению
матрицы
Затем по формуле
вычислим собственные векторы оператора
,
соответствующие собственному значению
Зачем нужны собственные векторы? Оказывается они обладают следующим важным свойством.
Теорема
4. Если
оператор
имеет в поле
различных собственных значений
,
то собственные векторы
соответсвующие
этим значениям, образуют базис в
Матрица
оператора
в этом базисе будет диагональной:
Замечание
2. Оператор
называется
диагонализируемым
( или оператором простой структуры),
если в
существует базис, в котором матрица
этого оператора диагональна.
Из теоремы 4 следует, что оператор
,
имеющий в в
поле
различных
собственных значений, диагонализируем.
Обратное, вообще говоря, не верно:
оператор
может
быть диагонализируемым, не имея
различных собственных значений. Например,
единичная матрица размерности
диагонализируема, но она имеет только
одно собственное значение
кратности
В этом случае матрица имеет базис из
собственных векторов, но все они отвечают
собственному значению
Докажем теперь следующий важный результат.
Теорема 5. Все подобные квадратные матрицы одной и той же размерности имеют одинаковый спектр.
Доказательство.
Пусть
матрицы
и
подобны. Тогда существует невырожденная
матрица
такая что
Поэтому
Используя теорему об определителе
произведения матриц, отсюда получаем,
что
Учитывая,
что
получаем отсюда равенство
которое показывает, что характеристические
уравнения матриц
и
совпадают, поэтому они имею одинаковый
спектр. Теорема доказана.
1
Полезно запомнить, что в
первый индекс
номер строки, а
номер
столбца, на пересечении которых находится
элемент
2 Взаимно однозначное соответствие между двумя множествами, сохраняющее линейные операции между ними, называется линейным изоморфизмом этих множеств.
3 Если оператор линейный, то пишут опуская скобки.
4 В качестве обычно берут множество действительных чисел или множество комплексных чисел