- •1. Обозначения
- •2. Модуль (абсолютная величина) действительного числа
- •3. Понятие функции
- •4. Предел функции
- •5. Бесконечно малые функции и их свойства
- •6. Эквивалентные бесконечно малые. Таблица эквивалентных бесконечно малых
- •7. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми
- •1. Односторонние пределы
- •2. Непрерывность функции в точке
- •3. Производная функции в точке, ее геометрический и механический смысл
- •4. Арифметические действия над производными
- •5. Производная сложной и обратной функций и функции, заданной параметрически
- •6. Производные простейших элементарных функций
- •1. Логарифмическая производная
- •2. Производные и дифференциалы высших порядков
- •3. Формула Тейлора с остаточными членами в форме Пеано и Лагранжа
- •4. Применения формулы Тейлора
- •5. Правило Лопиталя
- •1. Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •2. Монотонность функции
- •2. Локальный экстремум
- •3. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба
- •4. Исследование функций с помощью высших производных
- •1. Первообразная и неопределенный интеграл
- •2. Замена переменной в неопределенном интеграле
- •3. Интегрирования по частям в неопределенном интеграле
- •4.Выделение полного квадрата
- •5. Определенный интеграл, его свойства и геометрический смысл
- •1. Интеграл с переменным верхним пределом
- •2. Формула Ньютона-Лейбница
- •3. Замена переменных и интегрирование по частям в определенном интеграле
- •4. Интегрирование дробно-рациональных функций
- •4. Интегрирование тригонометрических выражений
6. Производные простейших элементарных функций
Используя определение 4 производной, а также теоремы 6 и 7, можно доказать следующее утверждение.
Теорема 8. В области определения соответствующих функций имеют место формулы:
Таблица производных
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
Докажем, например, формулу используя теорему 6 о производной обратной функции. Функция является обратной по отношению к функции причем поэтому по теореме 6 имеем
И, наконец, рассмотрим пример вычисления производной сложной функции, состоящей из многих звеньев:
Лекция 3. Логарифмическая производная. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора с остаточными членами в форме Лагранжа и Пеано. Формулы Маклорена-Тейлора для простейших элементарных функций. Правило Лопиталя. Применение формулы Тейлора
1. Логарифмическая производная
При дифференцировании показательно-степенной функции обычно используют логарифмическую производную Делается это так:
Например,
2. Производные и дифференциалы высших порядков
Производная есть сама функция от поэтому можно взять от нее производную. Полученная таким образом функция (если она существует) называется второй производной от функции и обозначается И вообще:
если известна производная ( порядка), то производная го порядка определяется так: При этом функция называется раз дифференцируемой в точке
Аналогично определяются дифференциалы высшего порядка. Именно:
если известен дифференциал порядка то дифференциал го порядка определяется так: при этом дифференциал независимой переменной и все его степени считаются постоянными дифференцирования.
Имеем И вообще, справедливо утверждение: если функция дифференцируема раз в точке то
Нетрудно доказать следующее утверждение.
Теорема 1. В области определения выписанных ниже функций справедливы равенства:
Производные порядка являются линейными операциями, т.е.
Производная порядка для произведения вычисляется довольно сложно.
Формула Лейбница. Если функции дифференцируемы раз в точке то имеет место равенство
Здесь: число сочетаний из элементов по нулевая производная функции совпадает с ней самой: Легко видеть, что формула (1) напоминает формулу бинома Ньютона; только в ней вместо произведения степеней стоит произведение производных Учитывая это, легко записать, например, третью производную от произведения:
3. Формула Тейлора с остаточными членами в форме Пеано и Лагранжа
При вычислении пределов функций мы использовали таблицу 1 эквивалентных бесконечно малых. Например, при вычислении предела мы использовали формулы Однако этих формул не достаточно для вычисления предела
Нужны более точные формулы или так называемые асимптотические разложения высших порядков. Переходя к описанию таких разложений, введем следующее понятие.
Определение 5. Пусть функция определена в некоторой проколотой окрестности
точки Говорят, что функция имеет в точке асимптотическое разложение го порядка, если существуют числа такие, что в некоторой в некоторой проколотой окрестности представляется в виде
Здесь Равенство (3) означает, что функция аппроксимируется (приближенно равна) в некоторой малой окрестности точки многочленом. В каком случае функция имеет асимптотическое разложение порядка? Ответ на этот вопрос содержится в следующем утверждении.
Теорема 2. Пусть функция имеет в точке производные до го порядка включительно. Тогда имеет в точке асимптотическое разложение порядка вида
(формулу (4) называют формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано или локальной формулой Тейлора).
Если в (4) положить то получим формулу называемую формулой Маклорена-Тейлора. Приведем формулы Маклорена-Тейлора для основных элементарных функций.
Теорема 3. Имеют место следующие разложения:
Доказательство этих формул базируется на подсчёте производной го порядка соответствующей функции. Докажем, например, формулу (2) .
Итак, пусть По теореме 1 имеем
Значит, в формуле
будут отсутствовать все четные степени а слагаемые с нечетными степенями имеют вид Следовательно имеет место формула 2.
Замечание 1. В формуле 2 остаточный член можно записать в виде а в формуле 3–
в виде (почему?).
Теорема 2 аппроксимирует функцию лишь в достаточно малой окрестности точки Условия представления функции на некотором отрезке (где может быть достаточно большим) по формуле Тейлора описаны в следующем утверждении.
Теорема 4. Пусть функция удовлетворяет следующим условиям:
1) существуют и непрерывны на отрезке ;
2) производная существует и конечна по-крайней мере на интервале
Тогда для всех функция представляется в виде
где точка находится между и
Формулу (5) называют (глобальной) формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
Если в формуле (5) положить то получим равенство или, обозначая будем иметь
Эту формулу называют формулой Лагранжа. Она верна в случае, когда функция непрерывна отрезке а существует и конечна по-крайней мере на интервале