- •1. Обозначения
- •2. Модуль (абсолютная величина) действительного числа
- •3. Понятие функции
- •4. Предел функции
- •5. Бесконечно малые функции и их свойства
- •6. Эквивалентные бесконечно малые. Таблица эквивалентных бесконечно малых
- •7. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми
- •1. Односторонние пределы
- •2. Непрерывность функции в точке
- •3. Производная функции в точке, ее геометрический и механический смысл
- •4. Арифметические действия над производными
- •5. Производная сложной и обратной функций и функции, заданной параметрически
- •6. Производные простейших элементарных функций
- •1. Логарифмическая производная
- •2. Производные и дифференциалы высших порядков
- •3. Формула Тейлора с остаточными членами в форме Пеано и Лагранжа
- •4. Применения формулы Тейлора
- •5. Правило Лопиталя
- •1. Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •2. Монотонность функции
- •2. Локальный экстремум
- •3. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба
- •4. Исследование функций с помощью высших производных
- •1. Первообразная и неопределенный интеграл
- •2. Замена переменной в неопределенном интеграле
- •3. Интегрирования по частям в неопределенном интеграле
- •4.Выделение полного квадрата
- •5. Определенный интеграл, его свойства и геометрический смысл
- •1. Интеграл с переменным верхним пределом
- •2. Формула Ньютона-Лейбница
- •3. Замена переменных и интегрирование по частям в определенном интеграле
- •4. Интегрирование дробно-рациональных функций
- •4. Интегрирование тригонометрических выражений
5. Бесконечно малые функции и их свойства
Определение 3. Функция называется бесконечно малой функцией в точке или функцией класса , если При этом пишут Таким образом,
Например, функция а функции не являются функциями класса
Теорема 3. Имеют место следующие свойства класса
Если то т.е.
Доказательство. Свойство очевидно. Докажем свойство (другие свойства доказываются аналогично). Пусть и Тогда для произвольного существуют числа такие, что
Выберем Тогда будут иметь место одновременно неравенства (2) и (3). Складывая их, получим, что
Это и означает, что т.е. верно свойство . Теорема доказана.
Следующая теорема устанавливает связь между бесконечно малыми функциями и функциями, имеющими предел при
Теорема 4. Если существует (конечный) предел то Обратно: если функция представляется в виде то имеет предел в точке и
Доказательство. Существование предела эквивалентно высказыванию
Высказывание (4), в свою очередь, эквивалентно тому, что функция т. е. что Теорема доказана.
Замечание 2. Равенство называют асимптотическим разложением функции имеющей предел в точке
И, наконец, дадим определение предела функции в бесконечности. Сделаем это кратко.
Определение 4. Множества
называются окрестностями точек соответственно. Следующие высказывания являются определениями предела функции в бесконечности:
Перейдем теперь к обоснованию арифметических действий над пределами.
Теорема 5. Если существуют (конечные) пределы то и существуют пределы при этом
Если (кроме существования пределов и ) выполняется ещё условие то существует предел причем
Доказательство. Докажем, например, теорему о пределе произведения. Так как существуют пределы то по теореме 4 имеют место асимптотические разложения Умножая эти равенста друг на друга, будем иметь Поскольку то (см. теорему 3). Далее, поскольку то функция представляется в виде По теореме 14 отсюда следует, что существует предел произведения при и он равен
Теорема доказана.
6. Эквивалентные бесконечно малые. Таблица эквивалентных бесконечно малых
Введем следующее понятие. Пусть конечная или бесконечная точка и пусть функ-
ции и определены в некоторой проколотой окрестности точки
Определение 4. Две бесконечно малые функции и (при ) называются
эквивалентными, если в некоторой проколотой окрестности и если
При этом пишут:
Важность этого понятия становится ясной при формулировке следующего утверждения.
Теорема 6. Если и если существует предел то существует и предел и он также равен числу
Доказательство. Переходя в тождестве к пределу при и учитывая, что получаем утверждение теоремы.
Используя эту теорему, а также таблицу эквивалентных бесконечно малых:
Таблица 1.
Если при то при верны следующие соотношения:
const.
можно без особого труда вычислять пределы конкретных функций.
Пример 1.