4. Интегрирование тригонометрических выражений
Интегралы
типа
где
дробно-рациональная
функция пе-
ременных
и
,
сводятся к интегрированию рациональной
функции одной переменной
с
помощью универсальной
подстановки
Действительно, тогда
поэтому
где
дробно-рациональная функция одной
переменной. К последнему интегралу
можно уже применить алгоритм разложения
на простейшие дроби и свести дело к
интегрированию простейших дробей типа
Однако не всегда удобно пользоваться
универсальной подстановкой, так как
она часто приводит к громоздким выкладкам.
Иногда удобно пользоваться
частными типами подстановок, которые
мы приводим ниже.
И,
наконец, интегралы типа
преобразуются в интегралы от синусов и косинусов с помощью формул тригонометрии:
Вычислим, например, интегралы:
1 Здесь и всюду далее с тем, чтобы не прерывать выкладки, в квадратных скобках будем указывать соответствующие замены переменных или формулы, необходимые для преобразований исходных выражений.
2 Функция называется непрерывно дифференцируемой на множестве если она и ее производная непрерывны на
3 На рис. Р6: – это трапеция ограниченная сверху кривой снизу– осью , с боков– прямыми и