В каждой лекции все формулы, определения и теоремы нумеруются так же, как и в предыдущей лекции, с цифры 1 (т.е. нумерация не продолжается от лекции к лекции). Это удобно при чтении лекций.

Лекция 1. Предел функции в точке и при Односторонние пределы. Действия над пределами. Бесконечно малые функции, таблица эквивалентных бесконечно малых и ее применение при вычислении пределов функций

1. Обозначения

Множества (любой природы) обозначаются большими латинскими буквами а их элементы – малыми латинскими буквами Большими латинскими буквами обозначаются также высказывания (например, {число делится на 3}). Везде ниже вводятся следующие обозначения:

“всякий”, “каждый”, “ для всякого”,“для каждого”,

“существует”, “найдется хотя бы один”,

“принадлежит”, “не принадлежит”,

“следует из”, “вытекает из”,

“эквивалентно”, “необходимо и достаточно”, “тогда и только тогда”,

“входит в”, “содержится в”

или “по определению” (в тексте слово “если”)

логическое “И”, логическое “ИЛИ”,

объединение множеств и пересечение множеств и

разность множеств и дополнение (если высказывание, то отрицание высказывания ).

Через обозначаются множества натуральных, целых, рациональных и действительных чисел соответственно

2. Модуль (абсолютная величина) действительного числа

Модуль числа определяется следующим образом:

Свойства модуля:

1. 2. 3.

4. 5. 6. 7.

8.

3. Понятие функции

Пусть даны два множества и

Определение 1. Говорят, что на множеситве задана функция отображающая множество в множество если каждому элементу поставлен в соответствие единственный элемент по закону При этом называется аргументом функции а значением этой функции (при указаннном значении аргумента _). Множество называется областью определения функции (обозначение: ), а множество называется множеством значений этой функции.

Чаще всего функцию задают двумя способами: а) табличный способ (здесь для каждого аргумента указывается соответствующий ) и б) аналитически (формулой; например ). При аналитическом задании функции в качестве области определения обычно берут естественную область определения, т.е. множество { выражение имеет смысл }. Например, Будет также использоваться обозначение для множества всех значений когда пробегает подмножество

4. Предел функции

Сначала дадим понятие предела функции в конечной точке Различают проколотую - окрестность точки которая определяется как симметричный интервал с выброшенной точкой

и просто - окрестность точки совпадающую с указанным интервалом:

Пусть функция определена в некоторой проколотой окрестности точки (в самой точке функция можеть быть определена или нет; её значение в точке не существенно).

Определение 2. Говорят, что число P является пределом функции в точке ( или при если для произвольного числа найдется число (зависящее, вообще говоря, от такое, что для всех значений , удовлетворяющих неравенству будет иметь место неравенство При этом пишут и читают: “ предел функции при равен ”.

Это определение записывают кратко так:

Отметим, что в этом определении не фигурирует значение функции в точке ( стремится к но так как Это означает, что предел не зависит от того, каким является значение функции в точке Например, функции

имеют один и тот же предел в точке

Геометрически высказывание (1) означает, что для любого существует число такое, что кривая при всех лежит внутри полосы Если эта ситуация будет иметь место для произвольного интервала (или, что то же самое, для произвольного то число будет пределом функции при . Если же существует интервал такой, что в любой проколотой окрестности точки найдется абсцисса для которой то Геометрические соображения часто используют при доказательстве существования пределов для конкретных функций.

Теорема 1. Если существует (конечный) предел , то он единственен, а сама функция f(x) является ограниченной при , т.е.

существуют постоянные такие, что для всех из проколотой окрестности точки имеет место неравенство

Замечание 1. Если функция удовлетворяет условию, записанному в рамке, то ее называют функцией класса и пишут Функции класса обладают следующими очевидными свойствами.

Теорема 2. Если и то