3. Производная функции в точке, ее геометрический и механический смысл

На рисунке изображены график функции точки секущая, касательная к кривой углы Пусть функция определена в точке и некоторой ее окрестности . Сместимся из точки в точку Величина называется приращением аргумента в точке а величина = называется приращением функции в точке (соответствующим приращению аргумента).

Определение 4. Если существует (конечный) предел

то его называют производной функции в точке и обозначают При этом функцию называют дифференцируемой в точке а

величину называют дифференциалом функции в точке

Выясним, в чем состоит геометрический смысл производной и дифференциала. Так как и так как то т.е.

т.е. производная функции в точке является угловым коэффициентом касательной к кривой с точкой касания

_{С другой стороны, из рисунка видно,что поэтому}

дифференциал равен приращению касательной к графику функции при переходе аргумента из точки в точку

Из геометрического смысла производной легко получить уравнения касательной и нормали к кривой в точке

(касательная), (нормаль).

Выясним теперь механический смысл производной. Если путь пройденный материальной точкой за время от момента до момента то средняя скорость материальной точки, а величина

мгновенная скорость материальной точки в момент

Нетрудно показать, что

любая дифференцируемая в точке функция непрерывна в точке (обратное, вообще говоря, неверно; пример: непрерывна в точке но не существует).

4. Арифметические действия над производными

Теорема 4. Если функции дифференцируемы в точке то в этой точке дифференцируемы и функции причем

(в рассматриваемой точке ).

Если, кроме того, то в точке дифференцируемо и частное, причем

Доказательство проведем для производной суммы. Имеем поэтому

Теорема доказана.

5. Производная сложной и обратной функций и функции, заданной параметрически

Приведем без доказательства некоторые утверждения, связанные с производными.

Теорема 5. Пусть сложная функция определена в точке и некоторой ее окрестност и пусть выполнены условия:

1. функция дифференцируема в точке

2. функция дифференцируема в соответствующей точке

Тогда сложная функция дифференцирума в точке и имеет место равенство

Напомним следующие понятия:

а) Функция называется обратимой на множестве если

При этом функция сопоставляющая каждому элемент такой, что называется функцией, обратной к

Очевидно, имеют место тождества:

Заметим, что все строго монотонные на множестве функции обратимы на

б) Говорят, что функция задана параметрически уравнениями если функция обратима на отрезке В этом случае где функция, обратная к функции

Теорема 6. Пусть функция в некоторой окрестности точки имеет обратную функцию Пусть, кроме того, функция дифференцируема в точке и Тогда обратная функция дифференцируема в соответствующей точке и имеет место равенство

Теорема 7. Пусть функция задана параметрически уравнениями и пусть выполнены условия:

1) функции дифференцируемы в фиксированной точке

2) в рассматриваемой точке

Тогда функция дифференцируема в точке и имеет место равенство