3. Интегрирования по частям в неопределенном интеграле

При вычислении интегралов часто используется операция интегрирования по частям, законность которой регламентируется следующим утверждением.

Теорема 3. Пусть функции непрерывно дифференцируемы на множестве Тогда на этом множестве справедливо равенство

Доказательство вытекает из цепочки тождеств

Замечание 2. Операция интегрирования по частям применяется к интегралам вида

( многочлен степени ).

При этом в интегралах типа 1 для получения дифференциала надо ввести под знак дифференциала трансцендентную функцию а в интегралах типа 2 под знак дифференциала надо ввести многочлен Например,

4.Выделение полного квадрата

При интегрировании алгебраических дробей будет использоваться операция выделения полного квадрата. Продемонстрируем ее на примере интеграла

5. Определенный интеграл, его свойства и геометрический смысл

П усть функция определена на отрезке Произведем разбиение (см. Р5)

отрезка на частичные отрезки и выберем произвольно точки Вычислим значения

и составим так называемую интегральную сумму

Определение 3. Если существует конечный предел интегральных сумм:

и если этот предел не зависит от вида разбиения и выбора точек то его называют определенным интегралом от функции на отрезке Обозначение: При этом саму функцию называют интегрируемой на отрезке

(заметим, что число называется диаметром разбиения ).

Пусть теперь функция По разбиению строится ступенчатая фигура (см. Р6), состоящая из прямоугольников высоты и длиной основания, равной Площадь этой ступенчатой фигуры (достройте ее самостоятельно) равна интегральной сумме и эта площадь будет приближенно равна площади криволинейной трапеции³ т.е. причем это равенство будет тем точнее, чем меньше диаметр разбиения и оно становится точным при

Мы пришли к следующему геометрическому смыслу определенного интеграла:

интеграл численно равен площади криволинейной трапеции с верхней границей, описываемой уравнением

Замечание 3. В определении 3 интеграла предполагается, что отрезок интегрирования ориентирован от до (т.е. ). В случае противоположной ориентации отрезка

(т.е. при ) полагаем по определению Также полагаем по определению, что

Перейдем к формулировке свойств определенного интеграла.

Ограниченность подынтегральной функции. Если функция интегрируема на отрезке то она ограничена на этом отрезке (т.е. ).

Линейность интеграла. Если функции и интегрируемы на отрезке то на этом отрезке интегрируема и любая их линейная комбинация и имеет место равенство

Аддитивность интеграла. Если функция интегрируема на максимальном из отрезков то она интегрируема и на двух других отрезках, причем имеет место равенство

Далее везде предполагаем, что

Монотонность интеграла. Если функции и интегрируемы на отрезке и то

Интегрируемость модуля. Если функции интегрируема на отрезке то на этом отрезке интегрируема и функция причем имеет место неравенство

Теорема о среднем для интеграла. Пусть функция непрерывна на отрезке Тогда существует точка такая, что (геометрический смысл этой теоремы состоит в том, что существует прямоугольник с основанием и высоты равновеликий криволинейной трапеции ).

Доказательство. Пусть (по теореме Вейерштрасса значения и функцией достигаются). Имеем поэтому из свойства монотонности интеграла отсюда получаем

Последние неравенства показывают, что значение является промежуточным для функции на отрезке а, значит, по теореме Больцано-Коши существует такое, что

Теорема доказана.

Рассмотрим ещё несколько примеров, которые демонстрируют простейшие приемы интегрирования.

Лекция 6. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменных и интегрирование по частям в определенном интеграле. Интегрирование дробно-рациональных функций и тригонометрических выражений

Вычисление определенного интеграла можно свести к вычислению неопределенного. Соответствующая формула носит название формулы Ньютона-Лейбница. Для ее вывода необходимо изучить сначала свойства интеграла с переменным верхним пределом, к описанию которого мы переходим.