Обработка данных с помощью метода наименьших квадратов(мнк).
Примем
линейную модель:
)=
;
где ) – функция спроса;
а , b – неизвестные параметры, которые подлежат оцениванию МНК;
– погрешность.
Оценки метода наименьших квадратов — это такие значения a и b, при которых функция достигает минимума по всем значениям аргументов. Чтобы найти эти оценки, надо вычислить частные производные от функции по аргументам a и b, и приравнять их к 0.
=
=D
-
Перейдем
к расчету теоретической функции спроса:
)=
53,88
) = -0,010275 + 53,88
Для
оценки дисперсии
используется
следующая формула:
=
;
где SS – остаточная сумма квадратов.
Найдём верхнюю и нижнюю оценки функции спроса:
=
U(ᵞ)
где
=
=
U(ᵞ)
– квантиль стандартного нормального
распределения порядка
При доверительной вероятности γ=0,95 по таблице U(ᵞ)=1,96
Таблица 3
«Оценивание функции спроса мнк»
|
|
|
D( ) |
D( ) |
|
|
D( ) |
|
[D( ) - ( )] |
|
1 |
500 |
6 |
50 |
300 |
3000 |
1500000 |
150000 |
48,74 |
7,56 |
9,49 |
2 |
1000 |
4 |
44 |
176 |
4000 |
4000000 |
176000 |
43,61 |
1,56 |
0,62 |
3 |
1500 |
8 |
40 |
320 |
12000 |
18000000 |
480000 |
38,47 |
12,24 |
18,79 |
4 |
2000 |
6 |
32 |
192 |
12000 |
24000000 |
384000 |
33,33 |
-7,98 |
10,61 |
5 |
2500 |
5 |
26 |
130 |
12500 |
31250000 |
325000 |
28,19 |
-10,95 |
24,04 |
6 |
3000 |
5 |
21 |
105 |
15000 |
45000000 |
315000 |
23,06 |
-10,30 |
21,12 |
7 |
3500 |
4 |
16 |
64 |
14000 |
49000000 |
224000 |
17,92 |
-7,68 |
14,71 |
8 |
4000 |
3 |
12 |
36 |
12000 |
48000000 |
144000 |
12,78 |
-2,34 |
1,83 |
9 |
4500 |
4 |
9 |
36 |
18000 |
81000000 |
162000 |
7,64 |
5,44 |
7,37 |
10 |
5000 |
5 |
5 |
25 |
25000 |
125000000 |
125000 |
2,51 |
12,45 |
31,13 |
∑ |
27500 |
50 |
255 |
1384 |
127500 |
426750000 |
2485000 |
256,24 |
0,00 |
SS=139,69 |
∑/50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(
)
=27,68
=2550
=8535000
=49700
=2,79
=
-
0,010275 p
+
53,88
1,96*1,67
При цене p=500
=
49,41 48,08 < 48,74 < 49,41
=
48,08
То есть при данной цене товар купят от 48 до 49 человек.
П ри цене p=2500
= 28,21 28,18 < 28,19 < 28,21
= 28,18
Товар купит 28 человек.
П ри цене p=4500
= 8,28 7,01 < 7,64 < 8,28
= 7,01
Товар купит от 7 до 8 человек.
Построим восстановленную и выборочную функции спроса на одном графике:
Рисунок 2: «Выборочная и восстановленная функции»
Анализируя 10 столбец, видим, что числа сравнительно невелики и знаки + и – чередуются, это свидетельствует о том что расчет выполнен правильно, так как необходимо выполнения тождества:
∑ [D( ) - ( )] = 0
Укажем насколько хорошо установлена зависимость, для этого рассчитаем относительную погрешность:
|
|*100%
D( ) |
( ) |
D( ) - ( ) |
|[D( ) - ( )]/D( )| |
Погрешность |
50 |
48,74 |
1,26 |
0,025 |
2,52% |
44 |
43,61 |
0,39 |
0,009 |
0,90% |
40 |
38,47 |
1,53 |
0,038 |
3,83% |
32 |
33,33 |
-1,33 |
0,042 |
4,16% |
26 |
28,19 |
-2,19 |
0,084 |
8,43% |
21 |
23,06 |
-2,06 |
0,098 |
9,79% |
16 |
17,92 |
-1,92 |
0,120 |
11,98% |
12 |
12,78 |
-0,78 |
0,065 |
6,50% |
9 |
7,64 |
1,36 |
0,151 |
15,08% |
5 |
2,51 |
2,50 |
0,499 |
49,90% |
Максимальная погрешность составила 49,9%
Рассчитаем оптимальную цену при различных уровнях издержек , для это следует максимизировать прибыль:
(
)*
D(
)
= (
)*
max
Продифференцировав выражение по p и приравняв его к 0 получим:
=
=
-
Поскольку
, а
53,88
, то
=
–
=
+ 2 622
Из данной формулы видно, что при возрастании издержек оптимальная розничная цена также возрастает, но в два раза медленнее.
В
табл.4 приведено сравнение оптимальных
цен, найденных с помощью первого метода
и МНК
).
Таблица 4