1.2.5 Ограниченные предикаты
В математике часто используют предикаты, различные переменные которых определены на разных множествах значений. Кванторы общности и существования для таких переменных могут сопровождаться указанием того множества значений, на котором переменная определена.
Определение. Ограниченным предикатом называется предикат, определенной не на всей предметной области, а на множестве объектов, удовлетворяющих дополнительному условию.
Простейшие примеры ограниченных
предикатов ‑
и
,
что имеет смысл: «для всех х,
принадлежащих множеству Х,
справедливо
»
и «существует такое х, принадлежащее
множеству Х, для которого
справедливо
».
Очевидно, что предикат
равносилен
и
равносилен
.
В более общем случае иногда удобно
записывать предикаты относительно
объектов, удовлетворяющих дополнительному
условию, например:
и
.
Первое из них читается: «для любого х,
удовлетворяющего условию
,
справедливо
»,
а второе: «существует х,
удовлетворяющее условию
,
для которого справедливо
».
Эти ограниченные предикаты
равносильно можно представить так:
;
.
Например, пусть
,
.
Тогда высказывание «Кто не рискует, тот
не пьет шампанское» можно формализовать
так:
или эквивалентно
«любой из тех , кто не рискует, не пьет
шампанское».
Другой пример. Пусть
,
.
Тогда высказывание «Все те, кто поехал,
хотели поехать» формализуется так:
,
а высказывание «Все те, которые хотели
поехать, поехали» ‑ так
.
Для ограниченных предикатов выполняются законы де Моргана:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
Контрольные задания.
1. Докажите равносильности: 2), 3), 4), 6), 7), 10), 11), 13), 14), 15), 16).
2. Постройте матрицы предикатов на множестве натуральных чисел. Для построенных матриц предикатов, найти значения всевозможных предикатов с квантификациями.
P(x, y)= «x – простое число» & «y – чётное число»
;
;
;