Глава 1. Элементы теории множеств. Последовательности.

Лекция 1. Элементы теории множеств. Грани числовых множеств. Абсолютная величина числа. Бином Ньютона.

Множество - одно из основных понятий математики.

Опр.1.1. Множество – совокупность объектов, собранных по какому-либо признаку, который называется характеристическим свойством. Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами.

Числовыми множествами называются множества, элементами которых являются числа.

Приняты следующие обозначения:

элемент принадлежит множеству ;

элемент не принадлежит множеству ;

множество состоит из элементов .

Опр.1.2. Два множества и называются равными , если они состоят из одних и тех же элементов. Множество называется подмножеством множества , если все элементы множества являются одновременно и элементами множества .

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым .

Пересечением множеств и называется множество , состоящее из всех элементов, одновременно принадлежащих как , так и , т.е. .

Объединением множеств и называется множество , состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному их данных множеств, т.е. .

Разностью множеств и называется множество , состоящее из тех элементов множества , которые не принадлежат множеству , т.е. .

В представленных записях операций со множествами нами использованы так называемые «кванторы» - логические символы, с помощью которых удобно записывать многие математические понятия:

«и»;

«или»;

квантор общности, означает «для любого», «для каждого»;

квантор существования, вместо слов «существует», «имеется»;

«не существует»;

«единственный»;

«следует»;

«равносильно», «тогда и только тогда».

Числа, используемые для счета предметов или объектов, называются натуральными . Если к натуральным числам присоединить им противоположные и ноль, то мы получим множество целых чисел . Множество всех дробных чисел получило название рациональных чисел . Каждое рациональное число может быть записано в виде конечной десятичной дроби. Множество бесконечных непериодических десятичных дробей получило название иррациональных чисел, например и т.д. Все рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных чисел .

Опр.1.3. Прямая линия, на которой указаны начало отсчета длин, масштаб и направление отсчета, называется числовой осью.

Между числовой осью и множеством действительных чисел существует взаимооднозначное соответствие, т.е. каждому действительному числу соответствует единственная точка на прямой и наоборот, каждой точке на прямой ставится в соответствие единственное действительное число.

Опр.1.4. Интервалом называется множество всех точек (чисел), заключенных между двумя какими-нибудь точками (числами), называемыми концами интервала. Если вместе с множеством точек интервала рассматривать и его концы, то интервал называется замкнутым или . Если концы интервала не рассматривать, то интервал называется открытым или . Если один конец присоединяется к интервалу, а другой – нет, то получаем полуоткрытый интервал или . Кроме конечных интервалов, существуют бесконечные интервалы, например ; ; и т.д.

Опр.1.5. Абсолютной величиной (модулем) числа называется число, равное самому себе, если положительно или равно нулю, и ему противоположное, если отрицательно:

Отметим некоторые свойства модуля:

1. .

2. .

3. ; .

4. .

5. , .

6. , .

7. , .

Опр.1.6. Открытый интервал длины с центром в точке называется окрестностью точки . Иначе множество действительных чисел , удовлетворяющих неравенству называется окрестностью точки .

Опр.1.7. Точка называется предельной точкой множества , если в любой окрестностью точки находятся точки из , отличные от . Изолированной точкой множества называется такая точка этого множества, что в достаточно малой ее окрестности нет точек из , отличных от . Внутренней точкой множества называется такая точка этого множества, что существует некоторая окрестность точки , целиком содержащаяся в множестве . Множество, все точки которого являются внутренними, называется открытым; множество, содержащее все свои предельные точки называется замкнутым. Точка называется граничной точкой множества , если любая ее окрестность содержит точки, как принадлежащие множеству , так и не принадлежащие ему. Множество всех граничных точек множества называется границей этого множества.

Опр.1.8. Множество ограничено сверху (снизу), если существует такое число , что для любого . В этом случае число называется верхней (нижней) гранью множества . Множество, ограниченное и сверху и снизу, называется ограниченным, в противном случае – неограниченным.

Опр.1.9. Наименьшая из всех верхних граней называется точной верхней гранью множества и обозначается . Наибольшая из всех нижних граней называется точной нижней гранью множества и обозначается . Если множество не ограничено сверху, то ; если не ограничено снизу, то .

Теорема1.1. Всякое ограниченное сверху (снизу) числовое множество имеет точную верхнюю (нижнюю) грань.

Бином Ньютона.