§2. Числовые последовательности

1. Числовые последовательности и действия над ними

Опр.2.1: Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число х_n, то говорят, что задана числовая последовательность или просто последовательность х₁, х₂, … х_n, … Числа х_n (n=1,2, …) называют элементами или членами последовательности, а число х_n – общим или n-ым членом данной последовательности.

Последовательности можно задавать формулой общего члена х_n.

Пример: ;

Геометрически последовательность изображается на числовой прямой в виде множества точек, координаты которых равны соответствующим элементам последовательности

Если дана последовательность и из некоторого подмножества ее членов образована новая последовательность, порядок следования членов в которой такой же, как и в данной последовательности, то она называется подпоследовательностью этой последовательности и обозначается , причем n_k<.

Арифметические операции над числовыми последовательностями вводят следующим образом.

Опр.2.2: Суммой, разностью, произведением, отношением последовательностей называются последовательности , члены которых образованы соответственно по следующим правилам:

Произведением последовательности на число с называются последовательности .

Опр.2.3: Последовательность называется ограниченной сверху (снизу), если числовое множество с элементами х₁, х_2, … х_n, … ограничено сверху (снизу). Последовательность, ограниченная и сверху и снизу, называется ограниченной.

2. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности

Опр.2.4: Последовательность называется бесконечно большой (б.б.), если для любого положительного числа А (сколь бы большим его ни взяли) существует номер N, такой, что для всех членов последовательности с номерами больше N выполняется неравенство .

Опр.2.5: Последовательность называется бесконечно малой (б.м.), если для любого положительного числа (сколь бы малым его не взяли) существует номер N, такой, что для всех членов последовательности с номерами больше N выполняется неравенство

Теорема 2.1: (связь между б.б. и б.м. последовательностями): Если последовательность -б.б. и все ее члены отличны от 0 (х_n≠0), то последовательность - б.м.; и обратно, если - б.м. последовательность, (a_n≠0), то последовательность =- б.б.

Свойства б.м. последовательностей:

Теорема 2.2: Алгебраическая сумма любого конечного числа б.м. последовательностей есть б.м. последовательность.

_{Теорема 2.3: Произведение любого конечного числа б.м. последовательностей есть б.м. последовательность.}

Замечание: Частное б.м. последовательностей может не быть б.м. последовательностью и может не иметь смысла.

Теорема 2.4: Произведение ограниченной последовательности на б.м. есть последовательность б.м.

Следствие: Произведение б.м. последовательности на число есть последовательность б.м.

§3. Сходящиеся последовательности

1. Понятие сходящейся последовательности

Опр.3.1: Число а называется пределом числовой последовательности , если для любого положительного числа ∀ε>0(сколь бы малым его не взяли) существует номер N такой, что при n>N выполняется неравенство .

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае – расходящейся.

Замечание 1: Из определения

-ε<x_n-a<ε

a-ε<x_n<a+ε

Эти неравенства означают, что элемент х_n находится в ε-окрестности числа а. Поэтому опр. предела последовательности примет вид: число а является пределом последовательности , если ∀ε>0 ∃ N, начиная с которого все члены последовательности принадлежат ε-окрестности точки а.

Таким образом, геометрический смысл предела последовательности: сходится к числу а, если вне любой ε-окрестности точки а имеется лишь конечное число членов этой последовательности.

Замечание 2: Пусть сходится и имеет своим пределом число а. Тогда последовательность будет б.м., т.к. ∀ε>0 ∃ N n≥N . След-но, любой элемент х_n сходящейся к числу а последовательности можно представить в виде: где а_n – элемент б.м. последовательности .

Обратно: если , где -б.м. последовательность, то

Если - б.м. последовательность, то , т.е. всякая б.м. последовательность является сходящейся и имеет своим пределом число а=0.

Замечание 3: Если последовательность - б.б., то предел ее равен ∞, т.е. , причем если, начиная с некоторого номера n, последовательность сохраняет определенный знак, то говорят, что

2. Основные свойства сходящихся последовательностей

Лемма 3.1: Если все элементы б.м. последовательности равны одному и тому же числу с, то с=0.

Теорема 3.1: Сходящаяся последовательность имеет единственный предел.

Теорема 3.2: Всякая подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к тому же пределу.

Следствие: если из последовательности можно выделить две подпоследовательности , сходящиеся к а и b, a≠b, то последовательность не имеет предела.

Теорема 3.3: Сходящаяся последовательность ограничена.

Замечание: ограниченная последовательность может и не быть сходящейся.

Теорема 3.4: Сумма, произведение и частное двух сходящихся последовательностей и , пределы которых равны , есть сходящаяся последовательность, пределы которых соответственно равны:

1. 

2. 

3. 

4. .