1.2.6 Термы
Между предметами области определения
предиката
могут быть заданы отношения. На это
указывает функциональный символ
,
где
‑ номер функции,
‑ число аргументов.
Например, если предметной областью
предиката является множество
натуральных чисел, то в качестве предметов
рассматриваются не только числа в чистом
виде ‑ константы 5, 8, 12 и т.д., но и их
комбинации, полученные при помощи
арифметических операций, т.е. выражения
вида
.
Объекты типа
не являются высказываниями, так как о
них нельзя сказать истинны они или
ложны. Они являются некоторыми переменными
числами множества
.
Таким образом, в логику предикатов
вводится понятие терма. На самом деле,
терм ‑ это функция над предметами,
значениями которой тоже являются
предметы.
Термы позволяют строить выражения типа
,
где знак «
»
‑ это предикат, а функции
и
‑ термы.
1.2.7 Формулы логики предикатов
Наша задача состоит в том, чтобы определить понятие формулы в логике предикатов, а затем на его основе продемонстрировать, насколько тоньше и точнее язык и логика предикатов отражают процессы человеческого мышления, нежели это делают язык и логика высказываний.
Понятие формулы логики предикатов вводится аналогично понятию формулы алгебры высказываний. Сначала задается алфавит символов, из которых будут составляться формулы:
‑ предметные переменные:
,
,
…,
,
…;
‑ предметные постоянные:
,
,
…,
,
…;
‑ функциональные символы:
,
где
‑ номер функции,
‑ число аргументов.
‑ нульместные предикатные переменные
(высказывания):
,
,
…,
,
…;
‑ предикатные символы:
,
…,
,
…, где
‑ номер предиката,
‑ число аргументов.
‑ символы логических операций:
,
,
,
,
;
‑ кванторы:
,
;
‑ вспомогательные символы: ( , ) — скобки.
Определим понятие терма.
Определение (терма).
1. Базис. Предметные
переменные и константы ‑ термы.
Их обозначают символом
.
2. Индукционный шаг. Если
есть функциональный символ
и термы
,
которые не обязаны быть разными, то
подстановка термов в функциональный
символ
также есть терм.
3. Ограничение. Термы однозначно получаются с помощью правил, описанных в базисе и индукционном шаге. Никаких других термов нет.
Теперь дадим определение формулы логики предикатов, которое также носит индуктивный характер. При этом обратим внимание на то, что через всё определение формул необходимо провести определение свободных и связных переменных.
Определение (формулы логики предикатов).
Базис.
1. Каждая нульместная предикатная переменная есть формула;
2. Если есть предикатный символ
и термы
,
то подстановка этих термов в предикатный
символ
дает формулу, в которой все
вхождения предметных переменных
свободные (так как термы кванторов
не содержат).
Индукционный шаг.
3. Если
и
‑ формулы, то
,
,
,
,
,
‑ формулы. При этом все
свободные и связные предметные переменные
формул
и
останутся соответственно свободными
и связными предметными переменными
новых формул (так как новых кванторов
нет).
4. Если
‑ формула и х ‑ предметная
переменная, входящая в
свободно, то выражения
,
также являются формулами, в
которых переменная х связанная,
а все остальные предметные переменные,
входящие в формулу
,
свободно или связанно, остаются и в
новых формулах соответственно такими
же.
Ограничение.
5. Формулы однозначно получаются с помощью правил, описанных в базисе и индукционном шаге. Никаких других формул нет.
Формулы, определенные в п.1 и п.2, называются элементарными (или атомарными). Формулы, не являющиеся элементарными, называются составными.
Заметим, что по определению формулы никакая переменная не может быть одновременно свободной и связанной.
Например,
,
,
— элементарные формулы, а
,
,
‑ составные формулы. При этом в первой
составной формуле предметная переменная
у связана, а переменные х,
z ‑ свободные. Во второй составной
формуле свободна лишь переменная z,
остальные ‑ связаны. В третьей
составной формуле первое вхождение
переменной х связано, а
второе ‑ свободно. Переменная
у связана. Последнюю формулу
более целесообразно было бы записать
в следующем виде (заменив связанную
переменную х какой-нибудь буквой,
не входящей в данную формулу):
.
В формулах вида
,
формула
называется
областью действия квантора
или
соответственно. Тогда ясно, что вхождение
предметной переменной в формулу будет
связанным, если эта переменная находится
в области действия квантора по этой
переменной.
Формулы, в которых нет свободных предметных переменных, называются замкнутыми, а формулы, содержащие свободные предметные переменные, — открытыми.
Примеры замкнутых формул: Р,
,
.
Правила записи сложных формул.
Пример 1. Дано «некоторые действительные числа являются рациональными».
В этом суждении имеется два предиката
и
.
Формула этого рассуждения есть
Пример 2. «Некоторые социал-демократы уважают всех демократов. Ни один социал-демократ не уважает ни одного коммуниста. Следовательно, ни один демократ не является коммунистом».
В этом суждении три одноместных предиката
,
,
и один двухместный предикат
.
Формула сложного суждения имеет вид:
Пример 2. «Ни один торговец наркотиками не является наркоманом. Некоторые наркоманы привлекались к ответственности. Следовательно, некоторые люди, привлекавшиеся к ответственности, не являются торговцами наркотиков».
В этом суждении три предиката
,
,
Формула этого суждения имеет вид:
Примеры позволяют сформулировать некоторые правила записи сложных формул:
1) каждое вхождение логической связки « » относится к формуле, следующей непосредственно за логической связкой справа;
2) каждое вхождение логических связок « » или « » после расстановки скобок связывает формулы, непосредственно окружающие логическую связку;
3) логические связки по силе упорядочены
так:
;
4) за квантором общности чаще всего следует импликация, а за квантором существования конъюнкция;
5) если формула содержит подформулу, то последняя не должна содержать кванторов, связывающих ту же переменную, что и квантор формулы;
6) значения всех предметных переменных и постоянных должны принадлежать одной области определения предиката или функции;
7) если в одной формуле есть кванторы общности и существования, то при формализации суждений следует стремиться поставить квантор существования слева от всей формулы.