29

1.1.9 Проверка правильности умозаключений

Прямой вывод.

В прямом выводе используется знание семантики тех операторов, через которые строятся аксиомы. Так, если аксиома утверждает, что A&B, то из смысла этого утверждения следует, что истинными будут высказывания A и B, которые войдут в цепочку вывода. Если известно, что истинным являются высказывания {AvB, `A}, то истинным будет высказывание B именно исходя из смысла этих высказываний. В прямом выводе строится цепочка высказываний, которая и является выводом.

Пример 1. Доказать или опровергнуть следствие:

B®`A, A&D, BvC ½= D&C.

Решение. Пронумеруем аксиомы:

B®`A (1),

A&D (2),

BvC (3).

Прямой вывод. Из

(2) Þ (A=1) (4),

(2) Þ (D=1) (5),

(4) и (1) Þ (В=0) (6),

(6) и (3) Þ (С=1) (7),

(5) и (7) Þ (D&C=1).

Здесь используется свойство связок И, ИЛИ и СЛЕДУЕТ. Действительно, A&B истинна, если истинны A и B одновременно (вывод 4 и 5) . Если A= 1, то `A = 0, значит B не может быть 1, т.е. B=0 (вывод 6). Если B=0 и BvC истинно, то C должно быть равно 1 (вывод 7). Наконец, из (7) и (5) следует искомый вывод.

Проверка правильности умозаключений при помощи силлогизмов.

Рассуждения, построенные по схеме силлогизмов, правильны именно в силу своей структуры. Однако, существуют рассуждения в естественном языке, которые построены не в соответствии с приведенными выше силлогизмами. Возникает вопрос, как проверить правильность произвольного рассуждения?

Если рассуждение построено не в соответствии со схемой силлогизма, можно попытаться последовательным применением нескольких силлогизмов доказать справедливость заключения.

Пример 2. Рассмотрим рассуждение: « Если бы он не сказал ей, она бы и не узнала. А не спроси она его, он и не сказал бы ей. Но она узнала. Следовательно, она спросила».

Решение. Выделим атомы: «Он сказал» ‑ , «Она узнала» ‑ , «Она спросила» ‑ . Запишем рассуждение:

.

Из первых двух посылок в соответствии с силлогизмом транзитивность импликации, делаем вывод, что истинно, т.е.

.

Далее в соответствии с modus tollens получаем истинность заключения , т.е

.

Пример 3. Доказать правильность умозаключения

.

Доказательство:

1. – гипотеза;

2. – гипотеза;

3. – гипотеза;

4. – 2, 3, правило Modus Ponens;

5. – 1 и закон контрапозиции: ;

6. – 4, 5 и правило Modus Ponens.

Однако подбор правильных образцов рассуждений ‑ силлогизмов - не является систематическим методом, позволяющим всегда ответить на вопрос, является ли схема данного рассуждения правильной, если она не совпадает ни с одним из указанных силлогизмов.

Пример 4. Рассмотрим рассуждение: «В хоккей играют настоящие мужчины. Трус не играет в хоккей. Я в хоккей не играю. Значит, я трус (?!)». Справедливо ли утверждать, что не играющий в хоккей трус?

Решение. Атомы: «Я играю в хоккей» ‑ Х, «Я ‑ настоящий мужчина, не трус» ‑ М.

Схема рассуждения: . Она не совпадает ни с одним из силлогизмов, поэтому нужен другой подход для проверки правильности.

Далее будут рассмотрены систематические методы проверки правильности рассуждений, применимые к любым схемам рассуждений.

Анализ рассуждений при помощи таблиц истинности.

Напомним, что формула В называется логическим следствием формулы А, если в совместной таблице не встречается комбинация значений (1 0), т.е. не может быть так, чтобы первая формула А была истинна, а вторая В ‑ ложна.

Выше был сформулирован критерий правильности дедуктивных умозаключений: дедуктивное умозаключение правильно, если ½= В.

На основании этого введем новое определение.

Определение. Формула В называется логическим следствием формул тогда и только тогда, когда для любого набора значений переменных , на котором формула истина, В тоже истинна. Обозначение логического следствия:

Таким образом, наиболее сильным логическим следствием нескольких фактов является просто конъюнкция этих фактов.

Пример 5. Инспектора Крейга из Скотланд-Ярда направили для проверки лечебницы для умалишенных. Каждый из обитателей лечебницы ‑ врач либо пациент ‑ мог быть либо здоров, либо лишен рассудка. Если он был здоров, то говорил правду, если лишен рассудка, то только лгал.

В лечебнице Крейг побеседовал с двумя обитателями, Джонсом и Смитом. Джонс сказал, что Смит один из врачей больницы, а Смит сказал, что Джонс ‑ пациент. Поразмыслив, Крейг догадался, что в клинике есть или доктора, лишенные рассудка, или пациенты, которые нормальны (очевидно, и то и другое следует пресекать). Как он догадался об этом?

Решение. Этот вывод можно получить чисто механически. Обозначим:

Dd ‑ «Джонс доктор» (следовательно, ‑ «Джонс пациент»);

Dn ‑ «Джонс нормален» (следовательно, ‑ «Джонс болен»);

Sd ‑ «Смит доктор» (следовательно, ‑ «Смит пациент»);

Sn ‑ «Смит нормален» (следовательно, ‑ «Смит болен»).

Информация, полученная Крейгом, сводится к четырем фактам:

«Если Джонс нормален, то он говорит правду, и Смит ‑ доктор»;

«Если Джонс болен, то Смит ‑ не доктор»;

«Если Смит нормален, то Джонс ‑ не доктор»;

«Если Смит болен, то Джонс ‑ доктор».

Какой вывод можно сделать из этих фактов? Для получения наиболее сильного следствия построим их конъюнкцию:

.

Первая конъюнкция говорит о том, что Джонс доктор, но ненормальный, четвертая конъюнкция ‑ что он пациент, но нормальный. Вторая и третья конъюнкции говорят, что Смит ненормальный доктор или Смит нормальный пациент. Дизъюнкция этих четырех конъюнкций говорит о том, что, по крайней мере, одна из этих возможностей реализуется. Каждая из них аномальная. Поэтому у инспектора Крейга есть все основания для расследования.

Определение логического следствия дает нам возможность систематической проверки правильности любой схемы рассуждений с высказываниями, например, по таблице истинности. Построим таблицы истинности для рассуждения из примера 2.

0	0	0	1	1	0	0	0
0	0	1	0	1	1	0	0
0	1	0	1	1	0	0	1
0	1	1	0	1	1	0	1
1	0	0	1	0	0	0	0
1	0	1	1	0	1	0	0
1	1	0	1	1	0	0	1
1	1	1	1	1	1	1	1

Формула истина только на последнем наборе, и на этом же наборе истина , поэтому заключение является логическим следствием посылок .

Построим таблицу истинности для примера 4.

0	0	1	1	1	1	1
0	1	1	1	1	1	0
1	0	0	0	0	0	1
1	1	1	1	0	0	0

Таблица показывает, что в этом рассуждении вывод не является логическим следствием утверждений . На втором наборе все посылки истинны, а заключение ложно. Это означает, что только из фактов нельзя установить является ли говорящий трусом. Решение этой проблемы требует привлечения дополнительных фактов.

При всей ясности метода, таблицы истинности неудобны: при большом числе посылок в рассуждении таблицы получаются очень громоздкими. Поэтому были разработаны другие методы анализа рассуждений.