1.2.2 Применение логических связок

Так как предикаты принимают значения из множества {0, 1}, то они являются высказываниями, и их можно объединять логическими связками, получая более сложные предикатные функции.

Пусть и – два п-местных предиката, определённых на некотором множестве M.

Конъюнкция. – это предикат, который истинен для тех и только тех объектов из M, для которых оба предиката истинны. Таким образом, область истинности предиката равна пересечению областей истинности предикатов и , т.е. .

Дизъюнкция. – это предикат, который ложен для тех и только тех объектов из M, для которых оба предиката ложны. Таким образом, область истинности предиката равна объединению областей истинности предикатов и , т.е. .

Отрицание. – это предикат, который истинен для тех и только тех объектов из M, для которых предикат ложен. Его область истинности является дополнением области истинности предиката , т.е. .

Импликация. ‑ это предикат, который истинен для тех и только тех объектов из M, на которых предикат ложен или истинен. Таким образом, область истинности предиката будет: .

Эквивалентность. ‑ это предикат, который истинен для тех и только тех объектов из M, на которых предикаты и одновременно истинны или ложны. Областью истинности будет: .

Свойства отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации и эквивалентности.

Так как к предикатам можно применять логические операции, то для них справедливы основные законы булевой алгебры.

Пусть , и – п-местные предикаты, определённые на некотором множестве M, тогда:

1) закон двойного отрицания ;

2) законы идемпотентности , ;

3) законы коммутативности ; ; ;

4) законы ассоциативности , ;

5) законы дистрибутивности

, ;

6) законы поглощения , ;

7) законы де Моргана ; ;

8) , , , , ; ;

9) ; .

В этих утверждениях необходимо следить, какие переменные определяются одинаковыми буквами, а какие разными. Пусть имеется два предиката и , определённых на множестве M. Тогда предикат – некоторый трёхместный предикат от x, y, z. Чтобы определить для каких значений предикат принимает истинные значения, а для каких ложные, необходимо произвести унификацию переменных, то есть присвоить переменных некоторые конкретные значения из множества M.

Пусть , , где , тогда . Предикат , когда и .

Пример. (ФАМИЛИЯ = "Петров")& (ВУЗ = "МИРЭА")&(1<КУРС>4), Это сложное высказывание будет истинным для студента МИРЭА 2-го или 3-го курса с фамилией Петров. Для всех остальных студентов значения предиката будет "ложь".

1.2.3 Кванторы

Предикатам могут быть приписаны кванторы. Знак называется квантором общности, а знак называется квантором существования.

Кванторы в явном виде впервые были введены немецким математиком Готлобом Фреге в работе «Begriffsschrift» («Исчисление понятий», 1879). В 1885 г. английский логик Чарльз Пирс ввел термины «квантор», «квантификация», происшедшие соответственно от лат. quantun — «сколько» и лат. quantun +facio — «делать». Это означает, что квантор показывает, о скольких (всех или некоторых) объектах говорится в том или ином предложении. Символику для кванторов в виде перевернутых латинских букв ввел итальянский математик Дж. Пеано в 90-е гг. XIX в. После использования кванторов математиками Пеано, Шредером, Расселом они стали широко использоваться.

Символ интерпретируется как фраза «для всех х», соответственно - «существует х».

Выражение "x P(x) интерпретируется следующим образом: для любого х предикат Р(х) истинный.

Выражение $х Р(х) интерпретируют следующим образом: существует такое х, что предикат Р(х) истинный.

Определение 1. Операцией связывания квантором общности называется правило, по которому каждому одноместному предикату , определенному на множестве М, сопоставляется высказывание, обозначаемое , которое истинно в том и только в том случае, когда предикат тождественно истинен, и ложно в противном случае.

Высказывание называется универсальным высказыванием для предиката . Символ происходит от первой буквы англ. all — «все».

Определение 2. Операцией связывания квантором существования называется правило, по которому каждому одноместному предикату , определенному на множестве М, ставится в соответствие высказывание, обозначаемое которое ложно в том и только в том случае, когда тождественно ложен, и истинно в противном случае.

Высказывание называется экзистенциальным высказыванием для предиката . Символ происходит от первой буквы англ. exist — «существовать».

В качестве примера рассмотрим предикат P(x) = «x – нечетное число».

На множестве он является тождественно истинным, поэтому для него справедливо выражение: , . На множестве выражение истинным не будет, для него справедливо выражение , .

Если одноместный предикат задан на конечном множестве , то нетрудно понять, что высказывание эквивалентно (имеет то же логическое значение) конъюнкции . В самом деле, по определению истинность высказывания означает, что предикат тождественно истинен, т.е. каждое из высказываний , в которые этот предикат превращается, истинно. Последнее равносильно истинности конъюнкции .

Если одноместный предикат задан на конечном множестве , то высказывание эквивалентно (имеет то же логическое значение) дизъюнкции . В самом деле, по определению ложность высказывания означает, что предикат тождественно ложен, т.е. каждое из высказываний , в которые данный предикат может превратиться, ложно. Последнее равносильно ложности дизъюнкции .

Итак, для предикатов, заданных на конечном множестве, квантор общности обобщает операцию конъюнкции, квантор существования обобщает операцию дизъюнкции. Для предикатов, заданных на бесконечном множестве, такого сделать нельзя.

Теперь рассмотрим вопрос о применении операции связывания квантором общности или существования к предикатам с любым числом предметных переменных.

Определение 3. Операцией связывания квантором общности по переменной называется правило, по которому каждому п-местному предикату , определенному на множестве М= , ставится в соответствие новый -местный предикат, обозначаемый , который для любых предметов , , …, превращается в высказывание , истинное в том и только в том случае, когда одноместный предикат , определенный на множестве , тождественно истинен, и ложное в противном случае.

Например, рассмотрим двухместный предикат « », определенный на множестве . Применим к нему квантор общности по переменной х. Получим одноместный предикат , зависящий от переменной у. Этот предикат может превратиться как в истинное высказывание (при ), так и в ложное (при подстановке вместо у любых натуральных чисел, кроме 1).

Заметим, что к -местному предикату , зависящему от переменных , можно снова применить операцию связывания квантором общности по одной из свободных переменных. В результате получится -местный предикат и т. д.

Например, применив к одноместному предикату , где , квантор общности по переменной у, получим нуль-местный предикат, т.е. высказывание . Ясно, что полученное высказывание ложно, потому что предикат опровержим.

Определение 4. Операцией связывания квантором существования по переменной называется правило, по которому каждому п-местному предикату , определенному на множестве М= , ставится в соответствие новый -местный предикат, обозначаемый , который для любых предметов , , …, превращается в высказывание , ложное в том и только в том случае, когда одноместный предикат , определенный на множестве , тождественно ложен, и истинное в противном случае.

Заметим, что к -местному предикату , зависящему от переменных , можно снова применить одну из операций квантификации ‑ квантор общности или квантор существования по одной из свободных переменных. В результате получится -местные предикаты и .

Определение 5. Переменная х, входящая в предикат , называется связанной, если она находится под действием квантора или . В противном случае, переменная х в предикате является свободной.

Например, в предикате

переменные х и z ‑связанные, а переменные у и v ‑свободные.

Пример 1. Пусть A(x, y) – некоторый двухместный предикат, определённый на множестве из пяти элементов: M = {a₁, a₂, a₃, a₄, a₅}, Предикатная функция задана матрицей:

y x	a1	a2	a3	a4	a5
a1	1	1	1	1	1
a2	0	0	0	0	1
a3	1	0	1	1	1
a4	1	1	1	1	0
a5	1	1	1	1	0

В результате применения квантификации можно получить четыре одноместных предиката.

x	(y) A(x, y)		y	(x) A(x, y)
a1	1		a1	0
a2	0		a2	0
a3	0		a3	0
a4	0		a4	0
a5	0		a5	0

x	(y) A(x, y)		y	(x) A(x, y)
a1	1		a1	1
a2	1		a2	1
a3	1		a3	1
a4	1		a4	1
a5	1		a5	1

Если к оставшейся свободной переменной применить квантор, то одноместные предикаты превратятся в высказывания:

(x) (y) A(x, y)= 1 (y) (x) A(x, y)= 0

 (x)  (y) A(x, y)= 1  (y)  (x) A(x, y)= 1

Порядок применения разноимённых кванторов существенен и может привести к различным высказываниям.

Пример 2.

1. Пусть предикат определен на множестве натуральных чисел.

Предикат означает ‑ «для всякого х существует такое y, что x делит y». Это утверждение истинно. Если кванторы поменять местами, то получим предикат , значение которого ‑ «существует такое число y, что любое х его делит». Это утверждение ложно.

2. Пусть ‑ предикат, определенный на множестве людей. Тогда означает, что у каждого человека х есть мать у. Предикат с другим порядком кванторов означает ложное утверждение, что существует мать всех людей.