2. Побудова рядів розподілу. Інтервальні та дискретні варіаційні ряди

Особливим видом групувань у статистиці виступають ряди розподілу, які є найпростішим способом упорядкування й узагальнення статистич­них даних. Залежно від обраної для дослідження групувальної ознаки ряди розподілу можуть бути атрибутивними або варіаційними. Останні, в свою чергу, поділяються на дискретні та інтервальні ряди розподілу.

Дискретним рядом розподілу або дискретним варіаційним рядом називається упорядкована послідовність пар “варіанта–частота” (х_і; f_i), розташованих у порядку зростання варіант, де f_i – частота варіанти х_і у сукупності. Очевидно, що кількість пар m дорівнює кількості різних значень ознаки. Дискретний варіаційний ряд будується у вигляді таблиці з двома рядками або стовпцями. У верхній рядок або лівий стовпець запису­ються варіанти х_і, у нижній рядок або правий стовпець – частоти f_i. Графіч­но дискретний варіаційний ряд зображується у вигляді полігону частот.

Інтервальним варіаційним рядом або інтервальним рядом розподілу називається упорядкована послідовність пар “інтервал–частота” ( ; f_i), розташованих у порядку зростання меж інтервалів, де та  – відповідно ліва (або нижня) та права (або верхня) межі і-го інтервалу, f_i – число варіант, що належать і-му інтервалу (або частота і-го інтервалу). При цьому прийнято вважати, що кожний інтервал, крім останнього, є замкненим зліва і незамкненим справа, останній інтервал вважається замкненим і справа.

Щоб побудувати інтервальний варіаційний ряд розподілу з рівними інтервалами, потрібно визначити кількість інтервалів m та їх ширину h. Якщо обсяг сукупності невеликий (n < 100), то кількість інтервалів можна визначити, наприклад, за формулою Стерджеса, округлюючи праву частину нижченаведеної рівності до цілих:

m =1 + 3,332 lg n, або ,

де m – кількість інтервалів (обов’язково ціле значення), n – обсяг сукупнос­ті, – ціла частина числа Ширина рівного інтервалу розраховується за формулою:

,

де h – ширина рівних інтервалів x_max – максимальне значення ознаки x_min – мінімальне значення ознаки m – число інтервалів. Але, як правило, для зручності побудови інтервальних варіаційних рядів x_min округлюють з недостачею (тобто дони­зу), а x_max – з надлишком (тобто доверху). Точність округлення обирається дослідником суб’єктивно. Величину h необхідно округлювати тільки з надлишком.

За нижню межу першого інтервалу беруть мінімальне значення ознаки x_min або округлене з недостачею. Верхня межа першого інтервалу обчислюється додаванням ширини інтервалу до його нижньої межі, тобто

.

Нижня межа другого інтервалу збігається з верхньою межею першого інтервалу, тобто , тоді:

.

Аналогічно визначаються межі інших інтервалів.

Інтервальний варіаційний ряд зазвичай наводиться у вигляді таблиці, яка складається з двох рядків (стовпців): в одному наводяться межі інтервалів, в іншому – частоти f_i. Графічно інтервальний варіаційний ряд зображується у вигляді гістограми або полігону частот.

Дискретний варіаційний ряд будується у випадках, коли число різних значень варіаційної ознаки порівняно невелике, що характерно для дискретної ознаки. Тому групування сукупності з дискретною ознакою, як правило, проводиться у вигляді дискретного варіаційного ряду. Якщо число різних значень варіаційної ознаки є порівняно великим або ознака є неперервною, то будується інтервальний варіаційний ряд.

Приклад 2.1. Є такі статистичні дані про перерахування коштів до Держбюджету за рік від 100 митниць країни (млн. грн.):

20,0; 24,1; 15,1; 25,0; 22,3; 26,3; 16,2; 23,2; 24,5; 10,2; 36,1; 21,6; 27,8; 16,6; 7,8; 24,7; 35,0; 29,7; 17,3; 23,8; 26,3; 31,3; 20,7; 28,8; 31,5; 22,5; 16,8; 6,7; 23,1; 27,4; 12,5; 24,5; 26,2; 17,9; 33,5; 20,8; 25,2; 20,7; 17,7; 21,0; 26,7; 18,8; 22,9; 34,0; 27,5; 30,2; 23,4; 13,7; 11,4; 20,5; 24,2; 28,1; 18,4; 19,5; 24,6; 27,0; 37,6; 23,8; 28,9; 32,4; 22,3; 15,5; 28,5; 18,4; 21,5; 26,8; 9,2; 15,9; 20,1; 27,4; 24,3; 14,1; 20,6; 39,9; 19,1; 29,1; 21,7; 28,7; 14,8; 22,3; 30,6; 24,1; 29,6; 23,6; 29,3; 25,6; 19,0; 24,0; 25,4; 34,8; 20,3; 5,1; 21,0; 33,9; 24,7; 19,5; 22,8; 25,4; 32,5; 24,0.

Потрібно побудувати інтервальний ряд розподілу митниць за розміром перерахувань коштів до Держбюджету за рік і зобразити його графічно.

Розв’язання. Число рівних інтервалів знайдемо за формулою . Для обчислення ширини h інтервалів знайдемо найменшу і найбільшу варіанти: х_min=5,1; х_max=39,9. Для зручності побудови інтервального ряду округлюємо мінімальне значення з недостачею (вниз), а максимальне значення з надлишком (угору) до цілих чисел: х_min=5; х_max=40. Обчислимо довжину інтервалу:

.

Першому інтервалу [5; 10) належать варіанти 7,8; 6,7; 9,2; 5,1 і, таким чином, f₁=4. Аналогічно знаходимо частоти всіх інших інтервалів і одержуємо інтервальний ряд розподілу у вигляді табл. 2.1.

Таблиця 2.1

Інтервальний варіаційний ряд

	5–10	10–15	15–20	20–25	25–30	30–35	35–40	Разом
fi	4	6	16	36	24	10	4	100

Г рафічне зображення інтервального ряду розподілу будуємо у вигляді гістограми та полігону частот (див. рис. 2.1).

Рис. 2.1. Гістограма і полігон частот для інтервального варіаційного ряду

Приклад 2.2. Маємо такі дані про стаж роботи 30 працівників митниці (років): 5, 4, 3, 3, 5, 4, 4, 4, 3, 4, 4, 5, 4, 4, 3, 2, 5, 3, 4, 4, 4, 3, 2, 5, 2, 5, 5, 2, 3, 3. Побудувати дискретний ряд розподілу працівників за стажем роботи і зобразити його графічно.

Розв’язання. Із сукупності записуємо у верхній рядок табл. 2.2 у зростаючому порядку всі можливі значення х_і ознаки X – величини стажу роботи. У нижньому рядку записуємо частоту f_i зустрічі кожного значення х_і (f_i – кількість працівників з х_і-м стажем роботи).

Таблиця 2.2

Дискретний варіаційний ряд

Стаж роботи (років), хі	2	3	4	5	Σ
Кількість працівників, fi	4	8	11	7	30

Графічне зображення дискретного ряду розподілу будуємо у вигляді полігону частот (рис. 2.2).

Стаж роботи, років

Рис. 2.2. Полігон частот для дискретного ряду розподілу