1,2,3.Періодичні сигнали і ряди Фур’є. Спектри амплітуд і фаз. Спектральний аналіз періодичних сигналів. Періодичні сигнали і ряди Фур’є. Спектри амплітуд і фаз

Періодичним називається будь-який сигнал, для якого виконується умова: T- період.

Будь-який періодичний сигнал можна представити у виді суми елементарних складових (базисних функцій). Якщо базисною функцією є гармонійний сигнал то ряд Фур'є має вид:

Спектр ф-ції – графічне представлення ряду Фур’є.

Прямокутні сигнали мають спектр у вигляді арочного синуса. При цьому виникає залежність: q=T/ti

АЧС і ФЧС

Амплітудно-частотна і фазочастотна характеристики цілком визначають структуру спектра періодичного коливання.

Особливий інтерес представляє АЧС, що дозволяє судити про відсотковий склад тих або інших гармонік у спектрі періодичного сигналу. Спектр періодичного сигналу, називають лінійчатим або дискретним спектром, тому що він складається з окремих ліній , пропорційних ампліту амплітуді косинусів розташованих на окремих частотах, що йдуть із кроком .

4,5.Спектральний аналіз періодичної послідовності відео імпульсів (t₀=0).

1. Спектр періодичної послідовності прямокутних відео імпульсів.

Відеоімпульс передається на короткі відстані. Нехай w (t) визначає періодичну послідовність прямокутних відеоімпульсів з амплітудою Um, тривалістю ti і періодом проходження .Такі імпульси застосовуються у радіолокації, телебаченні, автоматики.

Аналітична форма: S(t) = Um -ti/2<t<ti/2

1. ti/2<t<ti/2+T

Коефіцієнти ряду Фур’є: a0/2=Um/q

an=(2Um/q) * sin(nw1ti/2)/(nw1ti/2) * cos (nw1t0)

bn=(2Um/q) * sin(nw1ti/2)/(nw1ti/2) * sin (nw1t0)

АЧС і ФЧС:

.

Аn=√?an? + bn??= (2Um/q) * sin(nw1ti/2)/(nw1ti/2);

Φ=-arctg (bn/an).

Тригонометрична форма: S[t]= a0/2+∑an +∑bn

ПППВІ мають спектр у вигляді арочного синуса.

Переходячи до аналізу спектрів, їх особливості в загальних рисах можна сформулювати так:

1. Спектральні лінії знаходяться один від одного на однаковийвій відстані, що дорівнює частоті проходження імпульсів Ω.

2. Розподіл спектральних ліній по висоті визначається огинаючою спектру, характер якої залежить від форми сигналу.

3. Для побудови спектрів можна скористатися методикою, суть якої в наступному. У точках nΩ на відстані Ω одна від одної проводяться лінії, перпендикулярні осі частот. У тих же координатах в потрібному масштабі будується обвідна спектру. Точки перетину перпендикулярів з огинаючої спектру визначають висоту спектральних ліній.

6. Спектральний аналіз періодичної послідовності радіоімпульсів

Високочастотний сигнал, що передається на великі відстані, і має частоту Wн.

(єквивалентно ) -несущая частота.

Аналитическая форма записи.

Аналітична форма запису

Найдем постоянную составляющую :

Т. к. достаточно большая величина и находится в знаменателе постоянной составляющей, для радиоимпульсов можно пренебречь.

Найдем ряда Фурье.

Найдем ряда Фурье: .

Так как функция симметрична относительно начала отсчета, то равно 0.

Запишем ряд Фурье для данного типа сигнале в общем виде.

АЧС-радиоимпульса.

Коефіцієнти ряду: так, як Wн>>Ω, то:

a0/2≈0

an =(Um/q) * sin((Wн±nΩ)*ti/2)/( (Wн±nΩ)*ti/2)*cos(nΩt0)

bn =(Um/q) * sin((Wн±nΩ)*ti/2)/( (Wн±nΩ)*ti/2)*sin(nΩt0)

An =(Um/q) * sin((Wн±nΩ)*ti/2)/( (Wн±nΩ)*ti/2)

7,8. Спектральний аналіз неперіодичних сигналів. Неперіодичний прямокутний відео імпульс. Спектральна щільність аналогових сигналів. Пари перетворень Фур’є.

Спектральный анализ и его математический аппарат можно распространить на класс сигналов, называемых непериодическими. Среди них наибольший интерес в РТ представляют неполярные или одиночные импульсы. Пусть одиночный сигнал задан некоторой функцией, отличной от 0 на интервале времени от t₁ до t₂. Выделим произвольный интервал времени от t₁ до t₂ ,который является подмножеством интервала T и мысленно расположим в каждом интервале T эквивалентные импульсы. Можно считать данный сигнал периодическим, а значит он может быть разложен в ряд Фурье.

где

Коэффициенты данного ряда определяются из выражения.

В ряде (3) учтено, что период равен . Вне отрезка времени от 0 до t ряд (1) определяет периодическую функцию , полученную повторением сигнала с периодом Т. Для того чтобы вне отрезка времени от 0 до t функция равнялась нулю ве­личина T должна быть бесконечно большой.. Устремляя период в бесконечность получаем бесконечно малые коэффициенты С_n, сумма которых изображает указанную непериодическую функцию . Число гармонических составляющих, входящих в ряд Фурье будет бесконечно большим, так как . Расстояние между ними будет стремиться к нулю т.к. расстояние между спектральными составляющими равно и стремится к нулю. Иными словами спектр становится сплошным.

АЧС (периодич)

В связи с тем, что спектр становится сплошным вводится поня­тие спектральной плотности, которая является мерой количества энергии на единицу частоты.

На основе данных рассуждений дискретная частота не будет изменяться дискретно, а за­меняется на непрерывную частоту , а .

После соответствующих преобразований перейдем к двойному интегралу Фурье.

(4)

Внутренний интеграл в выражении (4) является функцией частоты. Это и есть спектральная плотность:

прямое преобразованием Фурье.

обратное преобразование Фурье для сигнала .