2.3 Минимизация максимального времени обслуживания требований с различными маршрутами

(J2 | | C_max)

Рассмотрим задачу построения оптимального по быстродействию расписания обслуживания n требований двумя приборами. В отличие от предыдущего параграфа маршруты обслуживания требований могут быть различными. По-прежнему будем предполагать, что повторение приборов в маршруте обслуживания каждого требования не допускается.

Пусть в обслуживающую систему, состоящую из двух приборов

А и В, в момент времени d = 0 поступает множество требований

N = {1, 2,...,n}.

Поскольку при r_i ≤ 2 требование i  N обслуживается каждым прибором не более одного раза, то в этом разделе во всех обозначениях будем опускать номер стадии q, полагая (i, L, q) = (i, L). Тогда маршрут Lⁱ обслуживания требования i  N представляет собой чередующуюся последовательность приборов , где , r_i − число операций, необходимых для обслуживания требования i  N. Для данной задачи . Известны длительности выполнения всех операций (i, L), i  N, , . Необходимо построить расписание s*, при котором общее время обслуживания всех требований C_max = max{  i  N} принимает наименьшее значение.

Алгоритм решения данной задачи предложил Джексон на основе обобщения алгоритма Джонсона для задачи поточного типа. Суть алгоритма Джексона в следующем.

Множество требований N можно разбить на четыре попарно непересекающихся (необязательно непустых) подмножества –

N=N_АВN_ВА N_АN_В:

N_АВ – подмножество требований i  N с маршрутом ;

N_ВА – подмножество требований i  N с маршрутом ;

N_А – подмножество требований i  N с маршрутом ;

N_В – подмножество требований i  N с маршрутом

Возможны следующие случаи.

1 N = N_АВ. В этом случае оптимальным по быстродействию будет расписание, при котором требования множества N обслуживаются обоими приборами в одной и той же последовательности  = (i₁, i₂,..., i_n), удовлетворяющей условию Джонсона:

, (2.2)

для всех j = 1, 2, …, n – 1 (на основании теорем 2.2 и 2.3, т. е. алгоритма Джонсона).

2 N = N_ВА. В этом случае аналогичное наименьшее значение

достигается для расписания s, при котором требования множества N обслуживаются приборами А и В в одной и той же последовательности  = (i₁, i₂,..., i_n), удовлетворяющей условию:

, (2.3)

для всех j = 1, 2,…, n – 1.

3 Если N_АВ = ∅ или N_ВА = ∅ и хотя бы одно из подмножеств требований N_А или N_В непустое, то все требования подмножества

N_А  N_В можно отнести к подмножеству N_АВ или N_ВА, полагая при i  N_А и при i  N_В. В результате получим множество требований с одинаковыми маршрутами обслуживания. Таким образом, и в случае, если N_АВ = ∅ или N_ВА = ∅, построение оптимального по быстродействию расписания обслуживания требований множества N двумя приборами не вызывает затруднений.

4 Пусть N_АВ  ∅ и (или) N_ВА  ∅. В этом случае поиск оптимального по быстродействию расписания основывается на следующей теореме:

Теорема 2.4

Общее время обслуживания требований множества N достигает наименьшего значения для расписания, при котором прибор А обслуживает требования в последовательности N_АВ,

N_А, N_ВA, а прибор В – в последовательности N_ВА, N_В, N_АВ.

При этом требования подмножества N_АВ (подмножества N_ВА) обслуживаются прибором А и прибором В в одной и той же последовательности, удовлетворяющей условию (2.2) или условию (2.3), а требования подмножеств N_А и N_В обслуживаются в произвольном порядке.

Асимптотическая сложность построения оптимального расписания по данному алгоритму не более чем 0(m log m) действий, где m = max{N_АВ,N_ВА}.