1.2 Задание 1

Описание задачи

Летчику надо облететь пять городов так, чтобы вылетев из одного города, облететь все города только один раз, вернуться в исходный город и при этом пролететь путь минимальной длины.

Расстояние между городами задается матрицей расстояний

A_5*5 = {a_i,j}, i, j = .

Типовой пример выполнения задания 1

Дано: n = 5;

значения элементов матрицы А (матрицы расстояний):

А = .

Матрица A_5*5 = {a_i,j}, i, j = , называется матрицей расстояний, в ней каждым элементом a_i,j задается расстояние из города i в город j .

Решение

Если города представить в виде вершин графа, а связь между городами (i, j)  в виде направленной дуги, то получится ориентированный граф (орграф), с помощью которого графически можно представить задачу задания 1 (рисунок 1.1).

7

9

5

3

2

4

4

10

6

Рисунок 1.1 – Орграф задачи задания 1

В нашем случае связь между городами (i, j)  это пути из города i в город j, длина которых задана матрицей расстояний А. Решение данной задачи заключается в нахождении в полученном орграфе гамильтонова контура минимальной длины.

Задача задания 1 в рамках теории расписаний представляет собой задачу минимизации суммы переналадок одного прибора. Она сводится к задаче «о бродячем торговце», которая решается методом «ветвей и границ». Этим методом и будем решать задачу. Для этого надо сделать следующее.

1 Представим матрицу А в виде таблицы, справа присоединим столбец для элементов , , найдем их и просуммируем:

	i	j					ui
		1	2	3	4	5
	1		9	3	8	1	1
А =	2	3		4	6	5	3
	3	5	10		4	8	4
	4	6	12	6		5	5	= 15
	5	7	15	7	2		2

2 Вычтем элементы u_i из соответствующих элементов матрицы А. Получим матрицу А, приведенную по строкам:

	i	j
		1	2	3	4	5
	1		8	2	7	0
А =	2	0		1	3	2
	3	1	6		0	4
	4	1	7	1		0
	5	5	13	5	0	

3 Присоединим снизу строку для элементов , , найдем их и просуммируем:

	i	j
		1	2	3	4	5
	1		8	2	7	0
	2	0		1	3	2
	3	1	6		0	4
	4	1	7	1		0
	5	5	13	5	0	
	vj	0	6	1	0	0

4 Вычтем элементы v_j из соответствующих элементов

матрицы А и получим матрицу А, приведенную по строкам и столбцам:

	i	j
		1	2	3	4	5
	1		2	1	7	0
А" =	2	0		0	3	2
	3	1	0		0	4
	4	1	1	0		0
	5	5	7	4	0	

5 Найдем константу приведения:

это нижняя граница длин всех гамильтоновых контуров.

6 Найдем степень нулей для матрицы А. Для этого находим сумму минимальных элементов строки и столбца, на пересечении которых находится нуль матрицы А, степень которого определяется без учета значения самого рассматриваемого в данный момент нуля:

	i	j
		1	2	3	4	5
	1		2	1	7	0(1)
А" =	2	0(1)		0(0)	3	2
	3	1	0(1)		0(0)	4
	4	1	1	0(0)		0(0)
	5	5	7	4	0(4)	

Нуль, стоящий на месте пересечения 1-й строки и 5-го столбца, имеет степень + = 1 + 0 = 1.

Примечание – , потому что значение нуля, стоящего на месте пересечения 1-й строки и 5-го столбца, не учитывается, так как это нуль, степень которого определяется.

Аналогично определяются степени остальных нулей матрицы А.

Выберем дугу, для которой степень нулевого элемента наибольшая. В нашем случае эта степень равна 4 и ее имеет нуль, стоящий на месте пересечения 5-й строки и 4-го столбца. Следовательно, выбираем дугу (5, 4).

7 Разобьем множество гамильтоновых контуров ⁰ на два подмножества: и . Подмножеству , содержащему дугу (5, 4), соответствует матрица ; подмножеству , не содержащему дугу (5, 4), соответствует матрица .

8 Матрицу получаем из матрицы А (пункт 4) путем вычеркивания 5-й строки и 4-го столбца. Для того чтобы не допустить образования негамильтонова контура, заменим симметричный относительно главной диагонали элемент на символ , т. е. . Делаем дополнительное приведение матрицы и получаем матрицу , которой будет соответствовать множество :

	i	j				ui
		1	2	3	5
	1		2	1	0	0
=	2	0		0	2	0
	3	1	0		4	0
	4	1	1	0		0
	vj	0	0	0	0

9 = = 0.

Находим дополнительную константу приведения для подмножества контуров : = = 22 + 0 = 22 – это нижняя граница для подмножества .

10 Матрицу получаем из матрицы А (пункт 4) путем замены элемента на символ , т. е. . Делаем дополнительное приведение матрицы :

	i	j					ui
		1	2	3	4	5
	1		2	1	7	0	0
=	2	0		0	3	2	0
	3	1	0		0	4	0
	4	1	1	0		0	0	= 4
	5	5	7	4			4

11 Приводим матрицу по строкам (по 4-й строке), присоединим снизу строку для элементов , найдем их и просуммируем.

Так как все минимальные элементы по столбцам равны нулю, то приводить матрицу по столбцам не надо. В результате получаем матрицу , которой будет соответствовать множество :

	i	j
		1	2	3	4	5
	1		2	1	7	0
=	2	0		0	3	2
	3	1	0		0	4
	4	1	1	0		0
	5	1	3	0		
	vj	0	0	0	0	0

12 = = 4 + 0 = 4.

Находим дополнительную константу приведения для подмножества контуров : = + = 22 + 4 = 26 – это нижняя граница для подмножества .

13 Сравниваем нижние границы для подмножеств и .

Так как = 22 < = 26, то дальнейшему ветвлению подвергаем подмножество .

14 Для этого найдем степень нулей для матрицы :

i	j
	1	2	3	5
1		2	1	0(3)
2	0(1)		0(0)	2
3	1	0(2)		4
4	1	1	0(1)	

15 Выберем дугу, для которой степень нулевого элемента наибольшая. В данном случае эта степень равна 3 и ее имеет нуль, стоящий на месте пересечения 1-й строки и 5-го столбца, т. е. выбираем дугу (1, 5).

16 Разобьем множество гамильтоновых контуров на два подмножества: и . Подмножеству , содержащему дугу (1, 5), будет соответствовать матрица ; подмножеству , не содержащему дугу (1, 5), будет соответствовать матрица .

17 Матрицу получаем из матрицы (пункты 8 и 14) путем вычеркивания 1-й строки и 5-го столбца. Элемента в преобразуемой матрице нет.

Делаем дополнительное приведение матрицы и получаем матрицу , которой будет соответствовать множество :

	i	j			ui
		1	2	3
	2	0		0	0
=	3	1	0		0
	4	1	1	0	0
	vj	0	0	0

18 = = 0.

Находим дополнительную константу приведения для подмножества контуров : = + = 22 + 0 = 22 – это нижняя граница для подмножества .

19 Матрицу получаем из матрицы (пункты 8 и 14) путем замены элемента на символ , т. е. = . Делаем дополнительное приведение матрицы :

	i	j				ui
		1	2	3	5
	1		2	1		1
=	2	0		0	2	0
	3	1	0		4	0
	4	1	1	0		0

20 Приводим матрицу по строкам (по 1-й строке). Присоединим снизу строку для элементов , , найдем их и просуммируем:

	i	j
		1	2	3	5
	1		2	1	
	2	0		0	2
	3	1	0		4
	4	1	1	0	
	vj	0	0	0	2

Приводим полученную матрицу по столбцам (по 5-му столбцу). В результате получаем матрицу , которой будет соответствовать множество :

	i	j
		1	2	3	5
	1		1	0	
=	2	0		0	0
	3	1	0		2
	4	1	1	0	

21 = = 1 + 2 = 3.

Находим дополнительную константу приведения для подмножества контуров : = = 22 + 3 = 25 – это нижняя граница для подмножества .

22 Сравниваем нижние границы для подмножеств и . Так как = 22 < = 25, то дальнейшему ветвлению подвергаем подмножество .

23 Для этого найдем степень нулей для матрицы :

	i	j
		1	2	3
	2	0(1)		0(0)
=	3	1	0(2)	
	4	1	1	0(1)

24 Выберем дугу, для которой степень нулевого элемента наибольшая. Эта степень равна 2, и ее имеет нуль, стоящий на месте пересечения 3-й строки и 2-го столбца. Значит, выбираем дугу (3,2).

25 Разобьем множество гамильтоновых контуров на два подмножества: и . Подмножеству , содержащему дугу (3, 2), будет соответствовать матрица , подмножеству , не содержащему дугу (3, 2), будет соответствовать матрица .

26 Матрицу получаем из матрицы (пункты 17 и 23) путем вычеркивания 3-й строки и 2-го столбца. Для того чтобы не допустить образования негамильтонова контура, заменим симметричный относительно главной диагонали элемент на

символ , т. е. = . Делаем дополнительное приведение матрицы и получаем матрицу , которой будет соответствовать множество :

	i	j		ui
		1	3
=	2	0		0
	4	1	0	0
		0	0

27 = = 0.

Находим дополнительную константу приведения для подмножества контуров : = = 22 + 0 = 22 – это нижняя граница для подмножества .

28 Матрицу получаем из матрицы (пункты 17 и 23) путем замены элемента на символ , т. е. . Делаем дополнительное приведение матрицы :

	i	j			ui
		1	2	3
	2	0		0	0
=	3	1			1
	4	1	1	0	0

29 Приводим матрицу по строкам (по 2-й строке), присоединим снизу строку для элементов , найдем их и просуммируем:

	i	j
		1	2	3
	2	0		0
	3	0		
	4	1	1	0
	vj	0	1	0

Приведем преобразуемую матрицу по столбцам (по 2-му столбцу) и получим матрицу , которой будет соответствовать множество :

	i	j
		1	2	3
	2	0		0
=	3	0		
	4	1	0	0

30 = = 1 + 1 = 2.

Находим дополнительную константу приведения для подмножества контуров :

= = 22 + 2 = 24 –

это нижняя граница для подмножества .

31 Сравниваем нижние границы для подмножеств и . Так как = 22 < = 24, то дальнейшему ветвлению подвергаем подмножество . А так как матрица имеет размерность 2 × 2, то в гамильтонов контур следует включить дуги, соответствующие в данной матрице нулевым элементам, т. е. дуги

(2, 1) и (4, 3). Таким образом, получен искомый гамильтонов

контур Г, который состоит из следующих дуг {(5, 4), (1, 5), (3, 2), (2, 1), (4, 3)} : Г =  (5  4  3  2  1  5). Так как контур – это замкнутый путь, то его можно записать и так: Г = (1  5  4  3  2  1). Его длина Z (Г) = а₁₅ + а₅₄ + а₄₃ + а₃₂ + а₂₁ = 1 + 2 + 6 + 10 + 3 = 22.

Процесс отыскания оптимального плана сопровождается построением дерева решений, которое представлено на рисунке 1.2.

Т ак как нижние границы оборванных ветвей не меньше длины первого рекорда (см. рисунок 1.2), то этот контур имеет наименьшую длину. Значит, найденный гамильтонов контур Г является оптимальным.

Рисунок 1.2 – Дерево поиска решений

На рисунке 1.3 представлен замкнутый контур минимальной длины, соответствующий оптимальному гамильтонову контуру Г.

3

1

2

10

6

Рис. 1.3 – Оптимальный гамильтонов контур

Вывод: летчик должен сначала прилететь в город 1, затем в 5, 4, 3, 2 и вернуться в город 1, проделав при этом путь минимальной длиной в 22 единицы.