1.3.4. Моделирование динамики систем

на основе теории ориентированных графов

Приведенные в начале раздела основные принципы поведения систем, выражаемые причинными связями между элементами (параметрами) системы, нашли применение в моделировании динамики систем. Параметры экосистем (биомасса, продуктивность, численность того или иного вида и другие) могут изменяться во времени. Изменения в основном вызываются сменой параметров среды. Количественная оценка этих изменений особенно важна для прогнозирования поведения системы с течением времени. Цель оценки - определение реакции системы на происходящие в ней изменения и их влияние на ее устойчивость. Один из методов исследования динамики экосистем основан на применении теории ориентированных графов (орграфов) для построения модели экосистемы и расчета изменений параметров системы во времени.

Рассмотрим методику применения орграфов в экологии.

1.3.4.1. Основные понятия

Геометрически орграф представляют в виде набора вершин и дуг. Вершину, в которую не заходит ни одна дуга, называют начальной, а конечной – ту, из которой не выходит ни одна дуга.

П утем в орграфе называется конечная последовательность дуг, в которой начало каждой последующей дуги, совпадает с концом предыдущей. Путь описывается последовательностью вершин, через которые он проходит.

Контуром называется путь, начальная вершина которого совпадает с конечной.

Контуры появляются, когда учитывается взаимное влияние элементов экосистемы (вершин) друг на друга.

Прямо пропорциональное влияние (положительная связь) отмечается знаком “+1” и обозначает, что при росте параметра вершины в начале дуги, увеличивается параметр вершины в конце дуги.

Обратно пропорциональная зависимость между параметрами (отрицательная связь) отмечается знаком “-1” и обозначает, что увеличение параметра в начале дуги приводит к уменьшению параметра в конце дуги.

К

Рис. 1.7. Варианты развития

устойчивой экосистемы:

V₁ – численность вида 1,

V₂ – численность вида 2

онтуры, усиливающие тенденцию отклонения от начального, называют контурами с положительной обратной связью.

Такие контуры содержат обратные связи со знаком “+” или четное число связей со знаком “–“. Контуры, в которых подавляется тенденция отклонения от начального состояния, называются контурами с отрицательной обратной связью.

Система будет неустойчива, если в ней имеется много контуров с положительными обратными связями.

Однако сильные отрицательные обратные связи также могут вызывать неустойчивость из-за амплитуды и числа увеличения колебаний. Система считается устойчивой, если после внешнего импульсного воздействия она приходит к стабильному состоянию (рис. 1.7).

Знак у дуги +1 или –1 определяет только направление изменения (уменьшает “-“ или увеличивает “+”). Такие графы называют знаковыми. Они позволяют лишь качественно оценить изменения, которые произойдут в экосистеме.

Более точно взаимосвязи в экосистеме можно описать с помощью взвешенного орграфа, для которого на дугах указывается:

• коэффициент связи е_i,j, (в частном случае 1);

• время задержки реализации .

При  = 0 считается, что изменение произойдет мгновенно. На практике изменение параметров экосистем растянуто во времени. Например, засуха и снижение продуктивности лесных лугов, не сразу отразятся на численности зайцев и ещё позднее на количестве лис.

Для удобства математического моделирования коэффициенты влияния e_i,j представляют в виде матрицы смежности M = [К X К], где К – число вершин графа.