4. Определение принадлежности точек кпв
Часто нам требуется определить, принадлежат ли те или иные точки заданной КПВ, или указать неизвестные координаты точек, заведомо лежащих на КПВ. Как же решать подобные задачи?
Оказывается, решение таких задач является несложным, если помнить, что КПВ всегда является убывающей и невогнутой (то есть при увеличении производства блага альтернативные издержки возрастают).
ЗАДАЧА |
Рассмотрим задачу: Определить, принадлежат ли одной КПВ точки A(0,100), B(100, 95) C(50,90), и D(150, 0) Решение: Существует два способа решения. I способ (графический) В этом способе ответ дается при помощи построения КПВ. Построим кривую в соответствии с координатами:
Поскольку получившаяся кривая является невыпуклой, точки не принадлежат одной КПВ. Недостатком такого способа является его громоздкость в том случае, если точек будет очень много или разброс значений их координат будет большим. Кроме того, очень сложно точно соблюсти масштаб, строя график на обычном листе А4. II способ (аналитический) Ресурсы ограничены, поэтому (в соответствии с определением КПВ) при увеличении производства одного блага необходимо снизить объем производства другого. Расставим точки в порядке возрастания одной из координат, например, первой: A (0, 100) C (50, 90) B (100, 95) D (150, 0) При переходе от комбинации C (50, 90) к комбинации B (100, 95) происходит одновременное увеличение объема производства обоих благ, что невозможно в условиях полной занятости и полного объема производства. Таким образом, точки A, B, C и D не принадлежат одной КПВ. |
Итак, для начала решения подобных задач необходимо расставить точки по возрастанию одной из координат. Если вторая координата не уменьшается последовательно, точки не могут принадлежать одной КПВ.
Задача |
|
|
Задание 3. Истребители и бомбардировщики (определение принадлежности точек к КПВ) Советский разведчик Максим Максимович Исаев получил из источника в Имперском министерстве авиации информацию о производстве бомбардировщиков и истребителей на авиационных заводах Третьего Рейха. По сведениям, переданным ему, используя все ресурсы, за месяц Рейх имеет возможность производить 0И и 800Б, 300И и 500Б, 400И и 300Б или же 500И и 400Б, где И – количество истребителей, а Б – количество бомбардировщиков. Помогите М.М.Исаеву определить, не является ли эта информация «уткой», подготовленной под руководством шефа германской разведки адмирала Канариса. |
Однако условие убывания функции КПВ является необходимым, но недостаточным условием принадлежности точек к кривой производственных возможностей. Кроме этого необходимо возрастание (вернее, неубывание) альтернативных издержек при росте выпуска блага.
ЗАДАЧА |
Рассмотрим задачу: Гильдия плотников изготавливает деревянные столы и стулья. Могут ли возможности производства гильдии описываться следующими данными:
Решение: 1. При увеличении производства столов производство стульев снижается. Следовательно, условие ограниченности ресурсов выполняется. 2. Производство столов в гильдии изменяется каждый раз на одинаковую величину (увеличивается на 4). Альтернативная стоимость изготовления столов не может снижаться при росте их производства, следовательно, количество производимых стульев должно каждый снижаться на все большую величину. Проверим это, дополнив таблицу:
Мы видим, что при росте производства столов с 12 до 16 нам приходится отказаться от производства 4 стульев, а при росте производства с 16 до 20 – всего от 3 стульев. Поскольку альтернативные издержки начинают убывать при росте производства, возможности гильдии не могут описываться приведенными данными. |
В приведенной выше задаче количество одного из благ изменяется каждый раз одинаково. Однако если бы оно изменялось по-разному, решение задачи было бы ненамного сложнее.
ЗАДАЧА |
Рассмотрим задачу: Завод ГАЗ изготавливает автомобили «Волга» и «Газель». Могут ли данные комбинации выпуска автомобилей лежать на КПВ завода ГАЗ?
Решение: 1. Для начала расставим данные в порядке возрастания производства автомобилей «Волга».
При росте производства автомобилей «Волга» производство «Газелей» снижается, следовательно, КПВ убывает. Мы можем перейти к проверке возрастания альтернативных издержек. 2. Производство автомобилей «Волга» на заводе ГАЗ изменяется каждый раз по-разному, поэтому просто сравнить изменение производства «Газелей» нельзя. Но, зная изменение производства обоих благ, мы можем определить и сравнить альтернативные издержки производства. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
ЗАДАЧА (продолжение) |
Действительно, . Внесем данные в таблицу:
Из таблицы видно, что альтернативные издержки производства автомобилей «Волга» сничала неизменны (при росте выпуска «Волги» с 50 до 70 и с 70 до 80 в час), что допустимо – главное, чтобы альтернативные издержки не убывали. Затем альтернативные издержки растут (при росте выпуска с 80 до 140 в час). Но при дальнейшем росте выпуска автомобилей «Волга» альтернативные издержки снижаются. Это нерационально, график будет вогнутым к началу координат, а значит, указанные данные не принадлежат КПВ автозавода ГАЗ. |
Рассмотрев, как решать подобные задачи с конкретными данными, мы можем составить универсальный алгоритм для определения принадлежности точек к КПВ и нахождения неизвестных координат точек, которые к КПВ заведомо принадлежат:
Пусть даны точки с координатами A, B и C с координатами А(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3).
Расставим точки в порядке возрастания координаты X.
Тогда, если x3 > x2 > x1, то y3 < y2 < y1.
Сведем данные в таблицу:
1
2
3
4
5
X
Y
(для удобства вычитаем из большего
выпуска меньший)Альтернативные издержки X
x1
y1
x2-x1
x2
y2
-(y2-y1)
x3-x2
x3
y3
-(y3-y2)
Если производство блага X увеличивается на одинаковую величину (
),
нам достаточно проанализировать, как
изменяется производство блага Y.
При увеличении производства блага X
альтернативные издержки производства
X не могут убывать, поэтому,
если производство Х увеличивается на
постоянную величину, производство Y
должно снижаться на постоянную или все
большую величину. В результате нам
будет необходимо решить систему из
следующих неравенств:
Как видим, в этом случае данные столбца (5) нам не понадобились.
Например, КПВ принадлежат точки А(100,0), B(60,100) и С(0,200)
Если производство блага X увеличивается неодинаково (
),
нам необходимо проанализировать, как
изменяются альтернативные издержки
производства блага X.
При увеличении производства блага X
альтернативные издержки производства
X не могут убывать, поэтому
нам необходимо решить систему неравенств:
В результате решение задачи сведется к решению системы из 5 неравенств.
Например, КПВ принадлежат точки: A(0,300), B(50,200) и C(100,0), поскольку 0 < 50 < 100, 300 > 200 > 100 и 0,25 (50/200) < 0,5 (50/100).
Задача |
|
|
Задание 3. Определние принадлежности точек к КПВ Джеймс Бонд получил сведения, что кривая производственных возможностей Гондураса проходит через точки A(24, 12), B(8, 26), С(32, 0), D(18, 20), E(0, 32). Не является ли это сообщение дезинформацией, подготовленной гондурасскими террористами? |
Часто бывает необходимо не определить принадлежность к КПВ той или иной точки, а определить допустимые координаты точки, принадлежащей к КПВ.
ЗАДАЧА |
Рассмотрим еще одну задачу Точки A, B, C и D лежат на кривой производственных возможностей. Координаты точек A(5000, 20), B(4000,Y), С(2000,X), D(1000,100). Определить возможные значения X и Y.
Решение: Представим имеющиеся данные в виде таблицы, расставив точки в порядке возрастания производства первого блага:
Поскольку производство блага 1 растет, производство блага 2 должно снижаться: 20 < Y < X < 100. Поскольку изменение объема производства первого блага происходит неодинаково, то мы будем сравнивать альтернативные издержки производства первого блага. Тогда, в соответствии с законом возрастающих альтернативных издержек,
Умножим все части неравенства на 1000. Тогда
Упростим, приведя дроби к десятичной форме, 100-X
Более точные значения X и Y нам неизвестны.
Ответ: 20 < Y < X< 100 и 100-X 0,5(X-Y) 0,2(Y-20)
|
,
0,5(X-Y)
0,2(Y-20).Рассмотрим еще один тип задач. Нам может быть необходимо определить возможные границы выпуска одного из благ, если точно известно количество другого блага, которое производится в экономике.
ЗАДАЧА |
Агент 008 выяснил, что в экономике Заокеании производят тростник и мачете. Ему известно, что точки A(100,10), B(80,20) и C(40,30) лежат на кривой производственных возможностей Заокеании, где первая координата – количество производимого тростника (в тыс. тонн), а вторая – количество мачете (в тыс. штук). Ему также известно, что правительство Заокеании решило выпускать 70 тысяч тонн тростника. Помогите Агенту 008 определить максимальное и минимальное количество мачете, которое может быть выпущено.
Решение: Проиллюстрируем условие на КПВ:
ство
тростника снижается со 100 до 80 тыс.
тонн). Следовательно, при снижении
выпуска тростника с 80 до 70 тыс. тонн
АИ(Мачете) Запишем уравнение линейной функции, содержащей отрезок BN, используя известные координаты и угол наклона: АИ(М) = 2T => АИ(Т) = 0,5М М = Mmax – АИ(T)*T 10 = Mmax – 0,5*100 => Mmax = 60 => M = 60 – 0,5Т Найдем координату T точки N, подставив требуемый выпуск тростника(T = 70) в функцию: М = 60 – 0,5*70 => M = 25 Максимальный выпуск мачете в Заокеании при выпуске 70 тыс. т. тростника равен 25 тыс. шт. При переходе от точки B к точке D АИ(Мачете) = 4 тростника (производство мачете растет с 20 до 30 тыс. шт., а производство тростника снижается с 80 до 40 тыс. тонн). Следовательно, минимальная альтернативная стоимость производства мачете при снижении выпуска тростника с 80 до 60 тыс. тонн не может быть больше, чем 1М = 4Т, иначе КПВ будет вогнутой. Очевидно, что искомая точка (точка K), соответствующая минимальному производству мачете при выпуске 60 тыс. т. тростника, лежит на отрезке BC. АИ(М) = 4T => АИ(Т) = 0,25М М = Mmax – АИ(T)*T 20 = Mmax – 0,25*80 => Mmax = 40 => M = 40 – 0,25Т Найдем координату T точки K, подставив требуемый выпуск тростника(T = 70) в функцию: М = 40 – 0,25*70 => M = 22,5 Минимальный выпуск мачете в Заокеании при выпуске 70 тыс. т. тростника равен 22,5 тыс. шт. Ответ: При выпуске 70 тыс. тонн тростника выпуск мачете в Заокеании может составить от 22,5 до 25 тыс. шт.
Замечание: Частным случаем подобной задачи может быть ситуация, когда максимальный выпуск достигается в точке D или на отрезке CD (то есть на участке КПВ, перпендикулярном одной из осей).
|
2 тростника.
В то же время при выпуске 60 тыс. т.
тростника мы не можем производить
больше, чем 30 тыс. мачете. Отсюда искомая
точка, соответствующая максимальному
выпуску мачете при производстве 60
тыс. т. тростника, лежит на отрезке AD.