2.3. Альтернативные издержки на линейной кпв
Рассмотрим линейную КПВ:
|
Мы знаем, что угол наклона линейной функции к осям является постоянным. Следовательно, график любой линейной функции является касательной к самой себе в любой точке. Отсюда можно сделать вывод, что если КПВ линейна, альтернативные издержки являются постоянными и равны тангенсам угла наклона графика функции к осям соответствующих благ: То есть:
|
Задача |
|
|
Задание 3. Альтернативные издержки на линейной КПВ. Кривая производственных возможностей задана точками A(100,0) и B(0,250), где первая координата – объем производства репы, а вторая – объем производства свеклы. Все используемые ресурсы являются однородными. Постройте график КПВ, укажите углы его наклона к осям благ. Определите альтернативную стоимость производства: 1. Первой тонны свеклы; 2. Первой тонны репы; 3. Трех тонн репы; 4. Десяти тонн свеклы 5. Пятидесятой тонны репы; 6. Сотой тонны свеклы; 7. Двухсот тонн свеклы; 8. Двухсот тонн репы. |
3. Уравнение кпв
Как и любая функция, КПВ может быть записана в аналитическом виде. Пусть график КПВ выглядит следующим образом:
|
В нашей экономике можно максимально произвести 100 единиц блага A или 500 единиц блага B. КПВ линейна, следовательно, ресурсы однородны. Мы можем вывести уравнение КПВ несколькими способами.
I способ (математический, длинный) Ресурсы ограничены, КПВ имеет отрицательный угол наклона, следовательно, уравнение нашей линейной функции имеет вид: A = c – kB, где A – текущий выпуск блага A, B – текущий выпуск блага B. |
Подставим известные координаты и получим систему из двух уравнений с двумя неизвестными:
Тогда наша функция имеет вид
A = 100 – 0,2B
Выразим B через A:
B = 500 – 5A
II способ (математический, короткий)
Уравнение нашей линейной функции имеет вид: A = c – kB,
где A – текущий выпуск блага A;
B – текущий выпуск блага B;
c – максимальный выпуск блага A;
k – тангенс угла наклона функции к оси B (оси аргумента).
Максимальный выпуск блага A равен 100, следовательно, наша функция имеет вид:
A = 100 – kB
Найдем k:
Отсюда:
A = 100 – 0,2B или B = 500 – 5A
III способ (экономический)
Мы можем максимально произвести 100 единиц блага A.
КПВ линейна, следовательно, альтернативные
издержки постоянны. Альтернативные
издержки производства блага B
– это то количество блага A,
от которого придется отказаться при
производстве единицы блага B.
Тогда, произведя B1
(то есть несколько) единиц блага B,
нам придется не производить
единиц блага A.
Мы помним, что
,
то есть
.
Итак, текущее производство блага A в количестве A1 можно описать как:
A1 = 100 –
Поскольку точка выпуска B1 и соответствующий ему выпуск A1 были взяты произвольно, данное уравнение описывает любую точку, принадлежащую нашей линейной функции.
Тогда для нашей функции:
A = 100 –0,2B
Рассмотрим, как написать уравнение для любой КПВ:
|
Нам известно, что:
Отсюда выводим уравнение линейной КПВ:
или
или
|
; 
Часто при выводе и использовании уравнения КПВ нам бывает полезно помнить свойства подобных треугольников. Рассмотрим задачу:
ЗАДАЧА |
Завод может произвести 100 винтов и 50 гаек за час, причем альтернативные издержки производства 1 винта равны 5 гайкам. Постройте КПВ и напишите уравнение. Анализ задачи: Частой ошибкой при решении таких задач является неверное понимание условия.
При правильном построении графика мы увидим, что точка (100;50) находится на КПВ, но не является крайней.
|
;
DE = 50,
.
=>
=> EF
= 10 => OF = 110.
=>
=>CO
= 550
Обратите внимание: это вся необходимая математика |
|
|
1. Для успешного решения задач, связанных с анализом линейных КПВ, достаточно иметь простые навыки работы с подобными треугольниками, линейными функциями и уметь находить тангенсы углов. 2. Для работы с нелинейными КПВ необходимо также уметь находить производные для любых функций.
|
Задача |
|
|
Задание 3. Построение КПВ (пшеница и рожь) Фермер может засеять поле пшеницей или рожью. Максимальное количество собираемой с данного поля пшеницы составляет 100 центнеров, а ржи — 200 центнеров, ресурсы однородны. Построить КПВ. |
Задача |
|
|
Задание 3. Построение КПВ (гайки и болты) На станке за час можно произвести 1000 гаек. Производя 200 гаек, можно произвести 400 болтов. Ресурсы однородны. 1. Постройте КПВ, описывающую возможности производства на станке за час; 2. Постройте КПВ, описывающую возможности производства на станке за 8-часовой рабочий день; 3. Постройте КПВ, описывающую возможности производства на станке за 8-часовой рабочий день в цехе, в котором находятся 30 станков. |
Задача |
|
|
Задание 3. Построение КПВ типографии (журналы и газеты) Типография может печатать 200 журналов и 500 газет в час. 1. Определите уравнение КПВ, если альтернативная стоимость производства одного журнала равна производству двух газет, а ресурсы однородны. 2. Постройте КПВ типографии |