Вопрос 2. Закон Снелиуса

Е стественно предположить, что отраженная и преломленная волны являются также плоскими, линейно поляризованными. Полагаем, что направление распространения падающей, отраженной и преломленной волн находится в плоскости xOz. Кроме того, отраженная и преломленная волны, так же как и падающая, являются нормально поляризованными. Тогда для отраженной и преломленной волн можно записать:

(3.9)

(3.10)

(3.11)

(3.12)

В данном случае являются известными характеристики падающей волны Искомыми являются . Если в результате решения задачи нам удастся получить решение, которое удовлетворяет следующим граничным условиям:

(3.13)

то, в соответствии с теоремой единственности, найденное решение будет верным и единственно возможным.

Соотношения (3.13) должны выполняться во всех точках границы раздела, которая совпадает с осью z, т.е. при любых z граничные условия (3.13) должны выполняться. Это возможно, если падающая, отраженная и преломленная волны имеют одинаковую зависимость по z.

(3.14)

Учитывая, что угол имеет пределы , а угол имеет пределы , мы делаем заключение, что:

(3.15)

При анализе подобных задач обычно предпочитают пользоваться не углом , а дополняющим углом — углом отражения:

(3.16)

Подставляя соотношение (3.16) в (3.15), получим: первый закон Снелиуса.

(3.17)

Воспользуемся соотношением (11) из которого следует, что:

(3.18)

(3.19)

С оотношение (3.18), записанное в форме (3.19), называется вторым законом Снелиуса. Отношение синуса угла отражения к синусу угла падения равно относительному коэффициенту преломления. Граничное условие (9) записывается следующим образом:

(3.20)

г де учтено, что тангенциальные компоненты в первой среде образуются падающей и отраженной волнами, а тангенциальные компоненты во второй среде образуются преломленными волнами. Подставляя в соотношения (3.20) соответствующие компоненты из соотношений (3.7-3.12), получим:

(3.21)

(3.22)

Учитывая одинаковую зависимость по z, отметим, что все фазовые множители одинаковые, и их можно сократить. Кроме того, , получим:

(3.23)

(3.24)

Амплитуда отраженной и преломленной волн пропорциональна , т.е.

где — коэффициент отражения, — коэффициент преломления.

(3.25)

Решая эту систему, получим:

(3.26)

Коэффициенты отражения и преломления часто называют коэффициентами Френеля. В соотношении (3.26) угол преломления можно исключить, используя закон Снелиуса.

(3.27)

(3.28)

Теперь можем записать результирующее поле в первой и второй средах, где учтено, что и :

Параллельная поляризация

Рассмотрим плоскую линейную поляризованную волну. Вектор E находится в плоскости падения ( так же, как и в первом случае). Выражения для падающей, отраженной и преломленной волн:

(3.29)

Аналогично для отраженной и преломленной волн:

(3.30)

(3.31)

Неизвестными являются. Они могут быть найдены в результате решения граничной задачи

(3.32)

В данном случае соотношение (3.32) записывается следующим образом:

(3.33)

(3.34)

С оотношения (3.32-3.34) должны выполняться во всех точках границы раздела, т.е. при любых значениях координаты z. Это возможно, если составляющие поля отраженной, падающей и преломленной волн имеют одинаковую зависимость от z,

(3.35)

Из соотношений (10), (11) следует, что законы Снеллиуса

(3.36)

и нвариантны (безразличны) к поляризации падающей волны.

Рис. 3.3.

Подставим соотношения (3.33), (3.34) в соответствующие выражения для проекций поля:

(3.37)

(3.38)

Из соотношений (3.35) следует, что все экспоненты равны. Сокращаем их и получаем:

(3.39)

(3.40)

(3.41)

Тогда соотношения (3.39), (3.40) можно переписать:

(3.42)

(3.43)

Решая систему, получим:

(3.44)

(3.45)

Это коэффициенты Френеля для параллельной поляризации

К осинус можно исключить

Если сравнить коэффициенты Френеля для нормальной и параллельной поляризации, то можно отметить, что для разных поляризаций коэффициенты Френеля различны.

Получим выражения для результирующего поля в первой и второй средах для параллельной поляризации:

(3.46)

(3.47)

(3.48)

(3.49)

В том случае, если плоская волна падает по нормали к плоскости раздела, понятие плоскости падения теряет смысл. В этом случае углы падающий, отраженный и преломленный равны нулю, и выражения для коэффициентов Френеля упрощаются:

(3.50)