Вопрос 3. Операторы теории поля.

Основными операторами, используемыми при анализе электромагнитных явлений, являются: поток вектора через поверхность, циркуляция вектора по замкнутому контуру, дивергенция и ротор вектора.

Примеры интегральных операторов:

- поток вектора D через замкнутую поверхность S ;

- циркуляция вектора H по замкнутому контуру L .

Интегральные операторы, усредняющие в пространстве поток и циркуляцию векторов по поверхности или контуру, могут быть приведены в дифференциальную форму, т.е. превращены в характеристики поля в точке пространства. Операции поток и дивергенция связаны между собой равенством:

, (1.3)

т.е. поток вектора через поверхность, окружающую точку в пространстве отображает его дивергенцию.

Так как скалярное произведение может дать как положительный, так и отрицательный результат, то поток и дивергенция тоже представляют собой положительные либо отрицательные величины. Если угол между векторами D и ds (направлен по внешней нормали к поверхности) менее 90⁰ (силовая линия D выходит из поверхности), то divD>0. Если силовая линия направлена во внутрь поверхности, то угол >90⁰, >0 и divD < 0. Следовательно, в точке поля, где собираются силовые линии, дивергенция отрицательна, а в точке, откуда наблюдается исток линий - дивергенция положительна.

Определение (1.3) можно представить в разных системах координат через частные пространственные производные проекций вектора. В прямоугольной системе координат дивергенция представляется суммой частых производных проекций вектора по своим направлениям

. (1.4)

В отличие от дивергенции операция ротор дает векторную величину. Нормальная к поверхности контура циркуляции составляющая ротора связана операцией взятия предела

, (1.5)

где S - площадь, заключенная внутри контура L, окружающая в пределе точку в пространстве.

В прямоугольной системе координат операция взятия ротора представляет следующую комбинацию частых производных проекций вектора

, (1.6)

где - представляют единичные векторы (орты) осевых направлений.

Если результат операции (1.6) равен нулю, то поле называют «безвихревое». Неизменное во времени электрическое поле во всех точках пространства rotE = 0, т.е. электрическое поле является безвихревым.

Вопрос 3. Скалярное и векторное представления (математические понятия).

Поля определяются заданием в каждой точке рассматриваемой области пространства некоторой скалярной или векторной величи­ны: скалярные и векторные поля. В векторном анализе производят­ся специальные операции дифференцирования и интегрирования по отношению к соответствующим функциям пространственных координат.

Скалярное поле, характеризуемое функцией можно наглядно отобразить при помощи семейства поверхностей уровня , где - константы. На рис. 1.1а показан пример сечения такого семейства плоскостью чертежа.

Рис. 1.1.

Введем вектор , называемый градиентом , который направлен в сторону максимального возрастания и равен скорости изменения в этом направлении. Очевидно, что

, (1.7)

где v — линия, ортогональная к поверхностям уровня, a v₀ есть касательный к ней орт. Смысл формулы (1.1) легко понять, рас­сматривая участок двух близких поверхностей уровня (рис. 1.1б). Проекция вектора на некоторое направление l есть ; эта величина становится макси­мальной, когда совпадает с ( ). Обозначая рассматри­ваемую проекцию имеем также

(1.8)

Определяя по этой формуле проекции градиента в декартовой системе координат, получаем

. (1.9)

Здесь употреблено также другое обозначение градиента, исполь­зующее символ («набла»).

Скалярное поле порождает векторное поле . Такое векторное поле называется потенциальным, а скалярная функция — потенциалом. Поверхности уровня, на которых = const, являются эквипотенциальными по­верхностями.

Для наглядного отображения векторных полей обычно строят картины так называемых векторных, или силовых, линий. Это ли­нии, касательные к которым в каждой точке указывают направле­ние вектора. Густота силовых линий может соответствовать интен­сивности поля. При этом количество векторных линий, проходя­щих через ортогональную площадку (если она мала, то может считаться плоской), должно быть пропорционально абсолютному значению вектора, практически постоянному в пределах площадки.

Введем понятие векторного дифференциала длины вдоль неко­торой линии l. Это вектор, направленный по касательной и по абсолютному значению равный скалярному дифференциалу dl (рис. 1.2а).

Рис. 1.2.

Он может быть представлен в декартовых координатах (рис. 1.2б)

Пусть задано векторное поле , которое надо описать посредством векторных линий. Выразим v в декартовых коор­динатах

и потребуем, чтобы выполнялось условие пропорциональности

(k — любая константа). Приравнивая компоненты векторов v и dl, получаем

.

Это, в сущности, система двух дифференциальных уравнений, ин­тегрирование которых приводит к уравнениям векторных линий.

На рис. 1.3 показано несколько характерных типов картин силовых линий, которые могут встретиться при исследовании вектор­ного поля F в области V с граничной поверхностью S.

Рис. 1.3.

Область V может содержать точку, из которой расходятся (исток) (а) или в которую сходятся (сток) (б) все силовые линии. Последние могут также проходить область насквозь (в) или совсем не пересекать ее поверхность S (г). В векторном анализе существует простая опе­рация, позволяющая устанавливать, имеет ли заданное поле источ­ники и стоки, показанные на рис. 1.3а, б.

Введем сначала представление о потоке вектора F через по­верхность S (не обязательно замкнутую). Это интеграл

где векторный дифференциал ds понимается как произведение обычного (скалярного) дифференциала поверхности ds на орт нор­мали , т. е. . Поэтому (рис. 1.4а). Если по­верхность S - замкнутая, как на рис. 1.3, то символ интеграла до­полняется кружком . Тогда - орт внешней нормали; для не­замкнутой поверхности выбирается произвольно.

Поток вектора F положителен, если силовые линии выходят из поверхности S наружу, и отрицателен, если они входят внутрь (потому что угол между F и в первом случае острый, а во вто­ром - тупой).