Вопрос 4. Плотность электромагнитной энергии и энергия, сосредоточенная в объеме.

Граничные условия. Краевые задачи.

В электродинамике встречается ряд задач по вычислению поля вблизи границы раз­дела сред с макроскопическими параметрами. При этом возникает следующая ситуация: макроскопические параметры среды изменяются в пределах объема диффузии сред. Как пра­вило, линейные размеры этого объема оказываются сравнимы с внутримолекулярными раз­мерами вещества, что позволяет предполагать, с макроскопической точки зрения, что пара­метры меняются скачкообразно. При скачкообразном изменении одного или несколь­ких параметров разрыв будут претерпевать функции, стоящие под знаком производной в уравнениях Максвелла, поэтому эти уравнения в дифференциальной форме утрачивают свой физический смысл. Для компенсации разрывов векторов поля при переходе через границу раздела вводят функции, имеющие смысл зарядов и токов, определяемых на поверхности раздела. Эти токи и заряды называют поверхностными, и характеризуют соответственно плотностью поверхностного тока

,

и плотностью поверхностного заряда

.

Далее из уравнений Максвелла получают систему граничных условий, раздельно фор­мулируемых для тангенциальных и нормальных составляющих векторов поля:

Рис. 2.3.

Полная система граничных условий

(2.19)

Если одна из сред может считаться идеальным проводником, поле во второй среде отсутствует, и система граничных условий принимает вид:

(2.20)

Иными словами, электрическое поле всегда перпендикулярно поверхности проводника, а магнитное – касательно. Нормальные и тангенциальные компоненты векторов поля на поверхности цилиндрического проводника показаны на рис.2.4.

Рис.2.4

Обобщая вышеизложенное, можно утверждать, что электродинамическая задача представляет собой систему урав­нений Максвелла в дифференциальной форме, с конкретными сторонними источниками, дополненные системой граничных условий, для устранения неоднозначности, возникающей при интегрировании дифференциальных уравнений. Такие задачи называют краевыми или граничными. Решить электродинами ческую задачу – значит отыскать такие функции (либо векторы поля, либо заряды и токи), которые удовлетворяют уравнениям Максвелла и граничным условиям.

Электродинамические задачи, как и любые задачи математической физики, традици­онно задачи подразделяют на прямые и обратные. Сторонними источниками в прямых зада­чах являются заряды и токи, в обратных – векторы поля. Как правило, исследование реальных физических процессов требует многократного поочередного решения прямых и обратных за­дач. Кроме того, задачи электродинамики разделяют на внутренние и внешние. Внутренняя задача сводится к вычислению поля внутри некоторой области, ограниченной замкнутой иде­ально проводящей поверхностью. Решение внешней задачи определяется полем в области внешней по отношению к поверхности, на которой распределены сторонние источники.

Энергетические соотношения

Пусть V – произвольный объем (рис. 2.5), в котором существует электромагнитное поле. В объеме определенным образом распределены сторонние источники с суммарной мощностью Р_ст. Умножим каждый член первого уравнения Максвелла скалярно на , а каждый член второго уравнения Максвелла скалярно на и вычтем второе получившееся уравнение из первого, учитывая, что

.

Получим

(2.21)

Все слагаемые правой части имеют смысл соответствующих объемных плотностей мощностей, в левой части – плотность мощности сторонних источников. Кроме того, произ­ведение определяет плотность мощности тепловых потерь, а

скорость изменения во времени объемной плотности энергии электромагнитного поля в объ­еме V. Каждый член, стоящий под знаком производной, представляет собой соответственно объемные плотности энергии электрического и магнитного полей. Таким образом, со време­нем энергия электрического поля переходит в энергию магнитного поля и наоборот.

Обозначая , проинтегрируем полученное уравнение (2.21) по всему объему V, используя теорему Остроградского:

(2.22)

Полученное уравнение носит название теоремы Умова-Пойтинга в интегральной форме. Анализ (2.22) позволяет заключить, что энергия электромагнитного поля может быть вычислена по формуле:

(2.23)

Интеграл – определяет мощность тепловых потерь, а – мощность сторонних источников, поступающая в объем.

Вектор П имеет смысл плотности потока энергии, то есть определяет электромаг­нитную энергию, переносимую через единицу поверхности в единицу времени и носит на­звание вектора Пойнтинга. Таким образом, теорема Умова-Пойтинга является формули­ровкой закона сохранения и превращения энергии для электромагнитного поля.

Рассмотрим далее формулировку закона сохранения энергии для монохроматического электромагнитного поля, поскольку она содержит ряд специфических особенностей.

При рассмотрении периодических процессов удобно анализировать не мгновенные значения, а их средние за период значения определяемые как.

Воспользуемся следующими преобразованиями, не имеющими четкого физического смысла, однако позволяющими избежать изменения вида уравнений, проявляющегося при выполнении нелинейных операций по вычислении энергетических характеристик:

Тогда вектор Пойнтинга может быть выражен как:

(2.24)

Л егко показать, что

,

где

комплексный вектор Пойтинга. Средняя за период мощность мощность тепловых потерь определяется выражением:

(2.25)

Средняя мощность сторонних источников записывается как:

(2.26)

Средние за период энергии электрического и магнитного полей:

(2.27)

Проводя преобразования, аналогичные использованным при выводе (29) нетрудно по­казать, что теорема Умова-Пойнтинга для монохроматического поля будет иметь вид:

(2.28)

Нижеследующая запись позволяет выявить физический смысл входящих в (2.28) сла­гаемых:

(2.29)

Выделяя в (2.29) действительную и мнимую части легко получить, соответственно, уравнения баланса активных и реактивных мощностей:

(2.30)

О пределим далее скорость распространения электромагнитной энергии, для чего выделим в объеме, в котором существует электромагнитное поле, цилиндр с площадью ос­нования ∆S и длиной ∆l (рис.2.5).

Рис. 2.5.

Скорость переноса энергии определим следующим обра­зом . .

В еличина переносимой энергии .

П о определению вектора . .

Тогда скорость переноса электромагнитной энергии мо­жет быть определена следующим образом:

(2.31)