35. Понятие полного дифференциала. Признак полного
дифференциала. Нахождение первообразной для полного дифференциала.
Понятие полного дифференциала.
- дифференциал
P(x,y)dx + Q(x,y)dy – диффернц.выражение
Является ли дифференц.выражение дифференциалом какой-либо функции?
Примеры:
1) 2dx + 3dy дифференциал или нет?
f=2x+3y
=2 ; =3
2) xdx + ydy
=x ; =y
3) ydx - xdy дифференциал!
Признак полного дифференциала.
Если равенство выполняется, то диф. Выражение является дифференциалом какой-то функции, а если не выполняется, то не является дифференциалом никакой функции.
Пример: P=y Q=-x
1
=
-1
Полезно понимать происхождение этого признака. Он следует из независимости частной производной от порядка дифференцирования.
↓ Предположим – дифференциал, т.е P= , Q= , тогда = , значит ↑.
В этом случае функцию f называют первообразной для этого дифференциала.
Как искать первообразную. (Считаем что признак выполнен.)
Самое простое – это считать 2 интеграла по икс и по игрик.
f(x,y)=∫ P(x,y)dx f(x,y)=∫ Q(x,y)dy
Остается составить
функцию, которая согласуется с обоими
полученными равенствами. Тонкость здесь
в том, что в первом интеграле пишем
(y)
а во втором
Пример: (y+2x-1)dx + (x-3y+4)dy
P=y+2x-1
Q=x-3y+4
1 = 1 => f есть! Ищем
f(x,y)=∫
P(x,y)dx=∫(y+2x-1)dx=yx + x
-
x +
(y)
f(x,y)=∫
Q(x,y)dy = ∫(x-3y+4)dy = xy -
f(x,y) = xy
+ x
- x -
+ C
36. Обобщение производной сложной функции на случай вектор-функций нескольких переменных.
Набор частных производных в векторном пространстве составляет не просто вектор градиента, а целую матрицу.
-
матрица
*
Имеется обобщение производной сложной функции:
Для вектор-функции:
где правая часть
это произведение матриц (смотри пункт
*)
37. Точки экстремума и критические точки функции нескольких переменных
и их нахождение.
Точка критическая если производная в ней равна нулю. Если точка критическая, то она подозревается на экстремум.
Признак экстремума
– это
Дополнительное рассмотрение изучит только для случая двух переменных.
Пусть (x0,y0) – критическая точка. Проверим на экстремум.
Алгоритм:
не
экстремум
неопределенность
38. Метод наименьших квадратов. Вывод формул.
Формулы в этом методе выводятся по правилу нахождения т.экстр.
y=kx+b;
k-?; b-?; k,b: F(k,b)=
Эта система приводит к линейной системе,
которую можно решить по правилу Краммера.
Так получают формулы для МНК.
39. Поверхности второго порядка: Названия, канонические уровнения, вид.
1. Параболоид:
-Эллиптический
-Гиперболический
2. Гиперболоид:
-Однополостный
-Двуполостный 
3. Эллипсоид 
