29. Уравнения плоскостей в пространстве общее, явное,

в векторной форме, параметрические. Вектор нормали. Формула расстояния

от точки до плоскости. Нахождение угла между плоскостями пространстве.

1. Общее: A_x+B_y+C_z+D=0

Для пространства справедлив факт =(A,B,C) ﬩плоскости A_x+B_y+C_z+D=0

Следствие из этого факта в плоскости заданной общими уравнениями параллельны тогда и только тогда, когда векторы

2. Явное уравнение с условными коэффициентами

Z=k₁x+k₂y +b

k₁, k₂– угловые коэффициенты

3. в векторной форме

 где

- радиус- вектор текущей точки М(х, у, z),

 - единичный вектор, имеющий направление, перпендикуляра, опущенного на плоскость из начала координат.

 

,  и  - углы, образованные этим вектором с осями х, у, z.

p – длина этого перпендикуляра.

 

            В координатах это уравнение имеет вид:

xcos + ycos + zcos - p = 0

4. параметрические уравнения:

x= x₀ + a₁u + b₁v

y=y₀ + a₂u + b₂vu,v- параметры

z=z₀ + a₃u + b₃v

Формула расстояние от точки до плоскости

Расстояние от произвольной точки М₀(х₀, у₀, z₀)  до плоскостиАх+Ву+Сz+D=0 равно:

Вектор нормали

Вектор n называется вектором нормали плоскости и должен быть перпендикулярен плоскости

Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям:

30. Уравнения прямых в пространстве общие, параметрические, канонические,

в векторной форме. Направляющий вектор.

Нахождение угла между прямыми, между прямой и плоскостью пространстве.

1. Общее:

2. Параметрические:

3. Каноническое:

4. В векторной форме:

Направляющий вектор

Направляющий вектор - это вектор, параллельный прямой.

Нахождение угла между прямыми

Пусть в пространстве заданы две прямые. Их параметрические уравнения:

l₁:

l₂:

Угол между прямыми  и угол между направляющими векторами  этих прямых связаны соотношением:  = ₁или  = 180⁰ - ₁. Угол между направляющими векторами находится из скалярного произведения. Таким образом:

.

Между прямой и плокостью пространстве







Пусть плоскость задана уравнением , а прямая - . Из геометрических соображений (см. рис.) видно, что искомый угол  = 90⁰ - , где  - угол между векторами и . Этот угол может быть найден по формуле:

В координатной форме:

31. Примеры задач о плоскостях и прямых в пространстве, и методы их решения.

Задачи на взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве.

Возможности:

1)совпадают;

2)параллельны;

3)пересекаются в одной точке;

4)прямые скрещивающиеся- не пересекаются и не параллельны.

В случаях 2) и 4) можно искать расстояния; 3) и 4)- угод между прямыми.

Расстояние и угол между прямыми удобно находить, используя векторы и специальные операции с векторами.

Прямая и плоскость.

Возможности:

1)прямая лежит в плоскости;

2)прямая парллельна плоскости: l∩α;

3)прямая и плоскость пересекаются: l⊂α и ∩α или l не параллельна α.

В 3 случае можно найти точку пересечения; в случае 2- найти расстояние между прямой и плоскостью, а в случае1 искать нечего.