15. Приложение определенного интеграла к вычислению длины кривой, заданной

параметрически, в декартовых координатах, в полярных координатах.

1)Длина кривой заданная в декартовых координатах:

2) Длина кривой, заданной параметрически:

3) Кривая задана в полярных координатах:

16. Комплексные числа: определение, обозначения, термины, арифметика.

Комплексное число – пара вещественных чисел и, естественно, обозначают точкой координатной плоскости, которую при этом называют комплексной плоскостью.

Комплексным числом называется выражение вида a + ib, где a и b – любые действительные числа, i – специальное число, которое называется мнимой единицей.

Комплексные числа часто обозначают одной буквой, например, z = a + ib. Действительное число a называется действительной частью комплексного числа z, действительная часть обозначается a = Re z. Действительное число b называется мнимой частью комплексного числа z, мнимая часть обозначается b = Im z. Ось Oy – мнимая ось, Ox – действительная ось.

Арифметика комплексных чисел:

1. Суммой двух комплексных чисел a + ib и c + id называется комплексное число 

   a + c + i(b + d).

2. Произведением двух комплексных чисел a + ib и c + id называется комплексное число 

ac – bd + i(ad + bc).

17. Тригонометрическая и экспоненциальная форма комплексного числа.

Формула Эйлера. Геометрический смысл умножения комплексных чисел.

Возведение комплексных чисел в степень.

- тригонометрическая форма комплексного числа z.

- экспоненциальная форма комплексного числа

Формула Эйлера:

Геометрический смысл умножения комплексных чисел:

Пусть два комплексных числа z и z' изображаются векторами ОМ и OM'. Запишем сомножители в тригонометрической форме и вычислим произведение:

Модуль произведения (оно изображено вектором OL), есть rr', а аргумент произведения равен φ + φ'» т. е. при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Это правило остается в силе для любого числа сомножителей.

Возведение в степень:

18. Матрицы: определение, арифметика матриц. Связь матриц и систем линейных

уравнений.

Матрица – прямоугольная таблица, предполагающая выполнение арифметических действий.

Арифметика матриц:

1) сложение (Складываются матрицы только одного размера)

2)умножение матрицы на число:

3) Умножение матриц (перемножать матрицы можно только тогда, когда длина строки первой матрицы равна высоте столбцов второй матрицы.)

Умножается «строка» на «столбец» так же как скалярно перемножаются два вектора.

Связь матриц и систем линейных уравнений

19. Алгебраические свойства матриц. Понятие обратной матрицы. Применение

обратных матриц к решению систем линейных уравнений.

Алгебраические свойства матриц. Нам знакомы алгебраические свойства чисел. Закон перестановочный и сочетательный по умножению и сложению, а также распрелеоительный.

a+b=b+a; (a+b)+c=a+(b+c); a(b+c)=ab+ac; ab=ba; (ab)c=a(bc)

Для матриц часть законов справедливы, но не все. Нарушается только перестановочность по умножению. Пример: В первых при перестановки матриц умножение может терять смысл. Но даже если умножение возможно и получаются матрицы одинакового размера они могут не совпадать.

Для этих законов (св-в) были приняты другие названия: Коммутативность, Ассоциативность, Дистрибутивность.

Для чисел существ. единицы слож и умнож, т.е. нейтр. эл-ты. (а+0=а; а*1=а). Для матриц очевидны единицы по слож. Это матрицы с нулевыми эл-ми. Для каждого размера своя нулевая матрица (А+0=А). По умножению также существуют единицы, это кв-ные матрицы с единицами на главной диагонали и с нулями на остальных местах. Эту матрицу принято называть единичной. Для кажого размера своя единичная матрица.

Для чисел мы знаем обратные эл-ты по слож и умнож (а+(-а)=0; а-а^-1=1; а≠0). Для матриц обратные по слож очевидны. А с обратными по умножению дело обстоит гораздо сложнее. Обратыне эл-ты сущ только у кВ-ных матриц, причем не у всех. Формулы существ, но используют так называемые определители.

Применение. Пусть система линейных алгебраических уравнений задана в матричной форме , где матрица A имеет размерность n на n и ее определитель отличен от нуля.

Так как , то матрица А – обратима, то есть, существует обратная матрица . Если умножить обе части равенства на слева, то получим формулу для нахождения матрицы-столбца неизвестных переменных . Так мы получили решение системы линейных алгебраических уравнений матричным методом.