8. Интегрирование тригонометрических выражений.

Существуют некоторые полезные методы

Если хотя бы одна из степеней нечетная, то интегрирование упрощается

Случай m n- четные, тогда выручают школьные тригонометрические формулы

Получаем

После раскрытия скобок получается сумма степеней косунисов. В первом случае с четными степенями поступаем как во втором случае; с четным случаем используем способ понижения степени.

Замена и интегрирование тригонометрических выражений.

Пример

Рациональная функция отношения соответствует более простому выражениию – это частный случай рациональной функции

Пример2

Опять получилась рациональная функция немного более общего вида, чем в предыдущем случае.

9. Гиперболические функции.

• г иперболический косинус:

• г иперболический синус:

• гиперболический тангенс:

• гиперболический котангенс:

С тригонометрическими функциями сходство только в значении в нуле и в четности

– аналог основного тригонометрического тождества

проверим равенство

Для гиперболических функций есть аналоги всех тригонометрических функций

Формулы сложения:

1. 

2. 

3. 

4. 

Формулы двойного угла:

1. 

2. 

Интегралы:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

Обратные гиперболическим функции можно найти в виде формул:

Archx и Arshx Ar и arc не одно и тоже arc от слова дуга, угол(арка) Ar – от слова площадь (areal)

 

 

Пример применения гиперболической замены

10. Понятие интегральной суммы. Определение определенного интеграла.

Пусть функция f(x) определена на [a;b], и

Тогда называется интегральной суммой функции на [a,b]

К примеру:

Определенный интеграл от функций f на отрезке [a,b] наз-ся предел интегральных сумм при стремлении отрезков к 0, если такое предел сущ-ет

Обозначается:

Знак интеграла – видоизмененная буква S суммма. Если не сущ-ет, то не интегрируем, и функция называется неинтегрируемой на данном отрезке, если сущ-ет – интегрируем.

Пример функция

У интегрируемых сумм нет однозначного предела

Пример2:

Если функция непрерывна на отрезке, то она интегрируема на отрезке.

Непрерывность является достаточным условием, но не является необходимым условием для интегрирования.

Для непрерывной функции и для кусочно-непрерывной годится очень простая формула.

Эта формула практически используется для приближения вычислений определенных интегралов. Если у функции f первообразная F то определенный интеграл можно вычислить с помощью этой первообразной

Определенный интеграл возникает естественно интегральная сумма, т.е. сумма большего числа слагаемых.

11. Теорема о формуле Ньютона-Лейбница.

Если при нахождении первообразной применили метод замены, т.е. найденная первообразная зависит от новой переменной но необязательно возвращаться к старой переменной, достаточно знать новые пределы интегрирования.

Интегрирование по частям для неопределенных интегралов приобретает следующий вид

в реальных вычислениях первое слагаемое в правой части оказывается не функцией, а числом.

Это из интернета

Теорема. Если   – какая–либо первообразная для непрерывной функции  , то

Доказательство. Пусть  –некоторая первообразная функции  . Но   – также первообразная для , а любые две первообразные данной функции отличаются на постоянную, то есть можно записать:

(4)

Это равенство справедливо для любых  . Положим  :   Но  , поэтому  , . Полагая в (4) x=b и подставляя значение C, получим   Переобозначив переменную интегрирования  , получим формулу Ньютона – Лейбница: 

При вычислении определенных интегралов будем записывать:

Пример1.  (геометрически это площадь фигуры, ограниченной одной полуволной синусоиды и отрезком   оси Ox).

Пример2.