12. Теорема о производной определенного интеграла по верхнему пределу

интегрирования.

Здесь тоже из интернета, в лекциях нет этой теоремы.

Если в определенном интеграле   изменять верхний предел b, то будет меняться и значение интеграла, то есть интеграл будет функцией верхнего предела.

Обозначим верхний предел x, а переменную интегрирования, чтобы не смешивать ее с верхним пределом, обозначим t. Таким образом, интеграл с переменным верхним пределом является функцией от x:  .

Имеет место теорема: производная интеграла с переменным верхним пределом от непрерывной функции равна подынтегральной функции, в которой переменная интегрирования заменена верхним пределом: 

Доказательство. По определению производной

 где    [первый интеграл представим в виде суммы двух интегралов, пользуясь свойством аддитивности]=   [по теореме о среднем]=  где   

Тогда следует из определения непрерывной функции, т.к. при    . Таким образом, 

Это значит, что интеграл с переменным верхним пределом   является первообразной для функции  .

13. Приложение определенного интеграла к вычислению площади области

в декартовых координатах.

1)Пусть на плоскости x0y задана область, ограниченная снизу кривой y=f₁(x) , заданной в декартовых координатах, сверху – кривой y=f₂(x) , слева – прямой x=a, справа – прямой x=b.

Исходя из геометрического смысла определенного интеграла, площадь этой области можно вычислить по формуле:

2)Пример для более сложной фигуры:

14. Полярные координаты и вывод формулы площади криволинейного сектора.

Полярная система координат — двумерная система координат, в которой каждая точка на плоскости определяется двумя числами — полярным углом и полярным радиусом.

Полярными координатами произвольной точки М (относительно заданной системы) называются числа   и   (см. рис.). Угол   при этом следует понимать так, как принято в тригонометрии. Число   называется первой координатой, или полярным углом точки М (  называются также амплитудой).

Площадь криволинейного сектора

Выведем формулу для вычисления площади криволинейного сектора. Для этого нам понадобится известная из школьного курса геометрии формула площади кругового сектора радиуса R с внутренним углом γ: (γ задается в радианах).

Разобьем криволинейный сектор на n частей такими лучами  , ,…, что  и   при  .

В силу свойств площади фигуры, площадь исходного криволинейного сектора  представится суммой площадей криволинейных секторов  на каждом участке разбиения  . Пусть   и   - наименьшее и наибольшее значение функции   на i-ом отрезке , . На каждом таком отрезке построим по два круговых сектора   и   с радиусами   и  соответственно.

Обозначим P и Q фигуры, являющиеся объединением круговых секторов , и соответственно. Их площади будут равны   и  , причем S(P) ≤ S(G) ≤ S(Q). Так как функция   непрерывна на отрезке [α;β], то на этом отрезке будет также непрерывна функция  . Для этой функции S(P) и S(Q) можно рассматривать аналогично нижней и верхней суммам Дарбу, что приводит нас к равенству

Таким образом, площадь криволинейного сектора находится по формуле  .