20. Определитель матрицы: определение, свойства, способы вычисления.

Опр. Определитель кВ-ной матрицы это число, которое обазначается detA или │А│. Определитель может быть вычислен по следующему правилу.

1. Если матрица порядка 1*1, то │А│=а₁₁

2. Если порядок матрицы А больше, то │А│ выр-ся через определители под матрицы

Для матрицы 2ого и 3его порядка получим явные формулы.

N=2

Произведение эл-тов гл. диагонали минус произведение эл-тов побочной диагонали.

N=3

Свойства определителей: 1.Если умножить строку или столбец матрицы на число, то определитель умножится на тоже самое число. Выносим множитель из строки или столбец за знак определителя.

Пр.

2.При перестановки 2х строк или 2х столбцов знак определителя меняется на противоположный

Пр.

3.В частности если две строки или два столбца одинаковы, то определитель равен 0. А учитывая первое св-во имеем, если 2 строчки или 2 столбца пропорциональны, то определитель равен 0.

Пр.

4.Если к строчке определителя прибавить другую строчку умноженную на число, то определитель не изменится. Тоже самое верно и для столбцов.

21. Применения определителей: правило Крамера, формула векторного произведения, формула смешанного произведения.

1.Правило Краммера. Правило для решения систем линейного ур-ния. Когда число ур-ний и неизвестных равны и решение существует и единственное.

AX=B; x1=

Пр.

2.Формула векторного произведения.

3.Формула смешанного произведения.

22. Векторы. Определения. Понятия равенства векторов и свободных векторов.

1)Вектор – геометрический объект, характеризуемый направлением и длинной.

Вектор в геометрии — упорядоченная пара точек, одна из которых называется началом, вторая — концом вектора.

2)Два вектора называются равными, если они сонаправлены, параллельны и их длины равны.

3)Свободный вектор (или просто вектор) – множество равных между собой закрепленных векторов.

Свободные векторы a и b равны (a = b), если они совпадают как множества.

23. Понятия линейной комбинации, линейной зависимости векторов, коллинеарности,

компланарности. Понятия линейной независимости, базиса, размерности

пространства векторов.

Линейная комбинация - вектор, представленный в виде x = αiai +... + αnan, где коэффициенты αi — произвольные числа; ai — рассматриваемые векторы (i = 1, ..., n). Если сумма коэффициентов равна единице и 0 < αi < 1, имеем выпуклую Л. к. в.

Линейная зависимость векторов. Система векторов называется линейно зависимой, если существует такой набор коэффициентов , из которых хотя бы один отличен от нуля, что .

Коллинеарность - Два ненулевых (не равных 0) вектора называются коллинеа́рными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой. Допусти́м, но не рекомендуется синоним — «параллельные» векторы. Коллинеарные векторы могут быть одинаково направлены («сонаправлены») или противоположно направлены (в последнем случае их иногда называют «антиколлинеарными» или «антипараллельными»).

Компланарность - Три вектора (или большее число) называются компланарными, если они, будучи приведенными к общему началу, лежат в одной плоскости.

Линейная независимость. Система векторов называется линейно независимой, если равенство возможно только при .

Базис - множество таких векторов в векторном пространстве, что любой вектор этого пространства может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов из этого множества — базисных векторов.

Размерность пространства векторов. Линейное пространство V называется n-мерным (имеет размерность n), если в нем:

1) существует n линейно независимых векторов;

2) любая система n + 1 векторов линейно зависима.

Обозначения : n = dim V; Vn