32. Дифференцируемость функции нескольких переменных.

Дифференциал от функции нескольких переменных. Частные производные.

Дифференциал от функции нескольких переменных. Частные производные.

Функции нескольких переменных

Трудности работы с такими функциями очевидны:

1)Громоздкие формулы и объемные вычисления

2)Проблемы наглядного представления

В случае трёх переменных подобный график потребует 4-го измерения

Дифференцируемость функций нескольких переменных.

Определение идейно такое же, как для функций одной переменной.

Напоминание: f(x) дифференцируема в точке Существует главная линейная часть приращения функции f в этой точке

∆f= k∆x + α(x, ∆x) k-число, α(x, ∆x)-бесконечно малое по сравнению с ∆x

k* - дифференциал df ; k-производная f в точке икс. k=f ’(x)

Определение для f(x , x ,..., x )

∆f= k ∆x + k ∆x + … + k ∆x + α(x … x , ∆x …∆x )

f- дифференцируема, если существует гл. лин., часть приращена, т.е. существует такая

k , … , k , что α-бесконеч.малое по сравнению с длиной вектора (∆x … ∆x )

k ,…, k - частное производное

Пример. f(x,y)=

33. Градиент и его свойство ортогональности. Формулы касательной прямой к кривой

в плоскости и касательной плоскости к поверхности в пространстве.

Вывод формул касательных к кривым 2-го порядка.

Опр. Градиент функции- вектор координаты которого равны значениям частных производных.

grad f=( ,...,

Свойства градиента.

Градиент перпендикулярен(поверхности, гиперповерхности) уровня

П ерпендикулярность к касательной в этой точке, а не к линии поверхности.

Это свойство имеет полезное применение. Пользуясь им легко вывести уже известное нам уравнение кас-ых к кривым 2 порядка.

+ ;

- (гипербола).

Выводить с помощью grad удобно, т.к. тогда можно не бояться забыть.

Примеры:

1) + =1( )Є касательной

Эллипс- л.уровня функции

+C=0

f(x;y)= +

grad f = ) в точке(

grad f=( :

C=- =-2( + )=-2*1=-2

Касательная перпендикулярна градиенту +

gradf в точке ( )

2) для параболы

=2px –уравнение канонической параболы

Соответствует f(x;y)=o. Пусть ( )Є параболе ур. касат.

-2p

C=2p p 2(p )=-2p

-2px+ 2p

px+p

p(x+

Общая формула для касательных к кривым на плоскостях.

f( )=0

gradf( )=( )

Общее ур-ие касательной плоскости поверхности пространства.

f(x;y;z)=0

gradf( )=( ( ); ( ); ( ))

( ) + ( + ( )( )=0

Легко получается ур-ие нормали к пов-сти в данное точке.

Нормаль- перпендикулярная прямая(вектор) и поверхности.

След.обобщение – это вектор функции, т.е. когда значение ф-ии не одно число, а набор чисел, т.е.вектор.

( )=(f,( ,(

f:

пример.

Траектория точки в пр-ве.

(x(f),y(f),z(f))=

r:

34. Частные производные высших порядков: обозначения, независимость от

порядка дифференцирований.

Они получаются повторными дифференцированиями

f

f

На практике такие сложные производные приходится считать редко, важно знать обозначения.

Важный факт! Частные производные не зависят от порядка дифференцирования. В частности =

= =

Пример: f(x,y) = sin

= cos * ; = cos *(-3 )

= - sin *(-3 )* + cos *(-3 )

!!! ║

= - sin * *(-3 )+ cos *(-3 )