24. Базис и система координат. Координаты вектора. Координаты точки.

Длина вектора и расстояние между точками.

Направление вектора: направляющие косинусы вектора.

1) Базисом в пространстве (на плоскости) называется тройка (пара) линейно независимых векторов.

Взаимно перпендикулярные и имеющие единичную длину векторы   образуют ортонормированный базис.

Совокупность точки – начала координат и ортонормированного базиса называют декартовой прямоугольной системой координат.

2) Координаты вектора – разность координат конца и начала. К примеру координаты вектора :

3) Координата точки – числа, соответствующие основаниям перпендикуляров из этой точки на оси.

4)Длина вектора (расстояние между началом вектора и концом):

Расстояние между точками равно длине вектора между ними.

5) Направление вектора в пространстве определяется углами α,β,γ, которые вектор образует с осями координат (рис. 12). Косинусы этих углов называются направляющими косинусами вектора:  .

25. Скалярное произведение: определение, свойства, формула нахождения

через координаты векторов, применения к геометрическим задачам.

Опр: скалярным произведением вектора называется произведением их длин и косинуса угла между ними.

Обозначать как  . Тогда формула для вычисления скалярного произведения имеет вид  , где   и 

Исходя из геометрического определения можно установить следующие свойства скалярного произведения:

1. - симметричность

2. - однородность

3.   - аддитивность

4.

Формула, выражающая скалярное произведение через координаты векторов.

26. Понятие правой тройки векторов. Связь этого понятия с понятиями векторного

произведения и смешанного произведения векторов.

Опр: векторы ,  , составляют правую тройку, если с конца вектора поворот вектора в сторону вектора , видится против чаовой стрелки.

(Связи я не нашла)

27. Векторное произведение: определение, свойства, формула вычисления через

координаты векторов, применения к геометрическим задачам.

Опр: векторным произведением вектора aи b называется вектор с удовлетворяющий следующим условием:

1)  , где  - угол между векторами  и  ,

2) вектор  ﬩ и ﬩ 

3)  ,  и   образуют правую тройку векторов

Свойства векторного произведения векторов:

 

1)  ;

2)  , если    или  = 0 или  = 0;

3) (m ) =  (m ) = m(  );

4)  ( +  ) =   +    ;

5) Если заданы векторы  (x_a, y_a, z_a) и  (x_b, y_b, z_b) в декартовой прямоугольной системе координат с единичными векторами  , то

 

 =

Применение векторного произведения

1. S_{параллелограмма}=   

S_{треугольника}= ½   

2. Легко находить вектор ﬩ к двум данным = 

28. Смешанное произведение: определение, свойства, формула вычисления

через координаты векторов, геометрический смысл.

Опр:Смешанным произведением векторов  ,   и   называется число, равное скалярному произведению вектора   на вектор, равный векторному произведению векторов   и  .

            Обозначается  или ( ,  , ).

Свойства смешанного произведения

1. ( ,  , ). = ( , ,  ) = ( , , ) = - ( , , ) = - ( , , ) = - ( , , )

2. (α , , ) = α( , , )

3. (( + ) ) = ( , ) + ( , )

4. ( ,  , )равно объему параллепипеда, построенного на векторах а,b,c

5. знак( ,  , )указывает, тройка ,  , правая или левая. >0 – правая, <0 – левая

Есть простая формула смешенного произведения через координаты векторов

( ,  , ) = = a1 - a2 - a3

Эта формула позволяет легко доказать все перечисленные свойства, кроме свойства объема.

V= S_оснh = S_осн cosα =    cos      

Применение смешанного произведения

Последние два свойства и еще: три вектора компланарны если их смешанное произведение равно нулю. Применение: формула для уравнения плоскости по трем точкам.