4 Решение задач оптимизации с помощью программы «Поиск решения»

В данной лабораторной работе необходимо научиться использовать программу «Поиск решения» при решении задач оптимизации.

В экономике оптимизационные задачи возникают в связи с многочисленностью возможных вариантов функционирования конкретного экономического объекта, когда возникает ситуация выбора варианта, наилучшего по некоторому правилу, критерию, характеризуемому соответствующей целевой функцией (например, иметь минимум затрат, максимум продукции при оптимальном расходе ресурсов и др.).

Оптимизационные модели отражают в математической форме смысл экономической задачи. Отличительной особенностью этих моделей является наличие условия нахождения оптимального решения (критерия оптимальности), которое записывается в виде функционала. Эти модели при определенных исходных данных позволяют получить множество решений, удовлетворяющих условиям задачи, и обеспечивают выбор оптимального решения, отвечающего критерию оптимальности.

В общем виде математическая постановка задачи математического программирования состоит в определении наибольшего или наименьшего значения целевой функции f(х₁ , x₂ , ..., х_n) при условиях g_i (х₁ , x₂ , ..., х_n ) ≤ b_i (i=1, 2, ..., т), где f и g_i – заданные функции, a b_i  – некоторые действительные числа.

Задачи математического программирования делятся на задачи линейного и нелинейного программирования. Если все функции – линейные, то соответствующая задача является задачей линейного программирования. Если хотя бы одна из указанных функций – нелинейная, то соответствующая задача является задачей нелинейного программирования.

Линейное программирование – область математики, разрабатывающая теорию и численные методы решения задач нахождения экстремума (максимума или минимума) линейной функции многих переменных при наличии линейных ограничений, т.е. линейных равенств или неравенств, связывающих эти переменные. К задачам линейного программирования сводится широкий круг вопросов планирования экономических процессов, где ставится задача поиска наилучшего (оптимального) решения.

Отдельными классами задач математического программирования являются задачи целочисленного, параметрического и дробно-линейного программирования /10/.

В задаче линейного программирования (ЗЛП) требуется найти экстремум (максимум или минимум) линейной целевой функции :

(1)

при ограничениях:

(2)

, (3)

где – заданные постоянные величины.

ЗЛП – частный случай задачи математического программирования, в которой целевая функция и ограничения линейные. Систему ограничений (2) называют функциональными ограничениями ЗЛП, а ограничения (3) – прямыми.

Вектор , удовлетворяющий системе ограничений (2), (3), называется допустимым решением, или планом ЗЛП, т.е. ограничения (2), (3) определяют область допустимых решений, или планов задачи линейного программирования (область определения ЗЛП).

План (допустимое решение), который доставляет максимум или минимум целевой функции (1), называется оптимальным планом (оптимальным решением) ЗЛП.

Канонической формой записи задачи линейного программирования (КЗЛП) называют задачу вида (запись с использованием законов суммирования) /10/.

Найти (4)

при ограничениях , , (5)

, , , . (6)

Векторная форма записи КЗЛП имеет вид:

при ограничениях , ,

где , ,

– скалярное произведение векторов , ;

и – вектор столбцы:

, , … , , (7)

Матричная форма записи КЗЛП:

при условиях , .

Здесь – вектор-строка; – матрица размерности , столбцами которой являются вектор-столбцы .

– вектор-столбец, – вектор-столбец.

Иногда используется стандартная форма записи ЗЛП:

(8)

, .

При этом запись понимают как вектор (или вектор-столбец в зависимости от контекста), у которого все компоненты (элементы) неотрицательны.

Приведение ЗЛП к каноническому виду осуществляется введением в левую часть соответствующего ограничения вида (2) k-й дополнительной переменной со знаком минус в случае ограничения типа и знаком плюс в случае ограничения типа .

Если на некоторую переменную не накладывается условие неотрицательности, то делают замену переменных , , . В преобразованной задаче все переменные неотрицательные. Переход к задаче на максимум достигается изменением в случае необходимости знака у целевой функции.

Для вызова программы оптимизатора выберите команду меню Сервис-«Поиск решения». Если команда «Поиск решения» отсутствует в меню Сервис, то надо установить эту надстройку /10/.