5.3 Использование инструмента Корреляция

Инструмент Корреляция определяет коэффициент корреляции между двумя множествами данных (интервалами ячеек массив 1 и массив 2). Основная задача корреляционного анализа заключается в выявлении взаимосвязи между случайными переменными путем точечной и интервальной оценки парных (частных) коэффициентов корреляции и детерминации. Кроме того, с помощью корреляционного анализа решаются следующие задачи: отбор факторов, оказывающих наиболее существенное влияние на результативный признак, на основании измерения степени связи между ними; обнаружение ранее неизвестных причинных связей.

Парная корреляция. Для двух переменных и теоретический коэффициент корреляции определяется следующим образом:

, (14)

где ; .

Парный коэффициент корреляции является показателем тесноты связи лишь в случае линейной зависимости между переменными и обладает следующими основными свойствами:

1 ;

2 Коэффициент корреляции не зависит от выбора начала отсчета и единицы измерения.

При корреляционная связь представляется линейной функциональной зависимостью. При линейная корреляционная связь отсутствует.

В практических расчетах коэффициент корреляции генеральной совокупности обычно не известен. По результатам выборки может быть найдена его точечная оценка – выборочный парный коэффициент корреляции :

, (15)

где ; . (16)

Для оценки значимости коэффициента корреляции применяется -критерий Стьюдента. При этом наблюдаемое значение критерия определяется по формуле

. (17)

Если , то полученное значение коэффициента корреляции признается значимым.

При высоком уровне корреляции большие значения Y сопровождаются большими значениями X (произведения отклонений преимущественно дают положительные значения). Аналогично, если наблюдается тенденция соответствия большим значениям Y малых значений Х, то результат дает отрицательную корреляцию. При слабо выраженной зависимости корреляция близка к нулю.

Ковариация – статистическая мера взаимодействия двух случайных величин. Ковариация зависит от единиц, в которых измеряются переменные и . Поэтому для измерения силы связи между двумя переменными используется коэффициент корреляции.

Выборочная ковариация является мерой взаимосвязи между двумя переменными. Ковариация между двумя переменными и рассчитывается следующим образом:

, (18)

где ; .

Множественная корреляция. Практическая значимость уравнения множественной регрессии оценивается с помощью показателя множественной корреляции и его квадрата - коэффициента детерминации. Показатель множественной корреляции оценивает тесноту совместного влияния факторов на результат. Независимо от формы связи показатель множественной корреляции может быть определен по формуле:

(19)

Для линейной регрессии индекс множественной корреляции может быть рассчитан также по следующим формулам:

, (20)

, (21)

где - определитель матрицы парных коэффициентов корреляции, - определитель матрицы межфакторной корреляции.

Индекс множественной корреляции равен совокупному коэффициенту корреляции не только при линейной зависимости рассматриваемых признаков. Тождественность этих показателей, как и в парной регрессии, имеет место и для криволинейной зависимости, нелинейной по переменным.

Частная корреляция. Как было показано выше, ранжирование факторов, участвующих в линейной регрессии, может быть проведено с помощью частных коэффициентов корреляции. При нелинейной взаимосвязи исследуемых признаков эту функцию выполняют частные индексы детерминации. Кроме того, частные показатели корреляции широко используются при решении проблемы отбора факторов: целесообразность включения того или иного фактора в модель доказывается величиной показателя частной корреляции.

Частные коэффициенты (индексы) корреляции характеризуют тесноту связи между результатом и соответствующим фактором при устранении влияния других факторов, включенных в уравнение регрессии.

Сопоставление коэффициентов частной корреляции разного порядка по мере увеличения числа включаемых факторов показывает процесс «очищения» зависимости результативного признака с исследуемым фактором.

Хотя частная корреляция различных порядков и может представлять аналитический интерес, в практических исследованиях предпочтение отдают показателям частной корреляции самого высокого порядка, ибо именно эти показатели являются дополнением к уравнению множественной регрессии.

В общем виде при наличии факторов для уравнения коэффициент частной корреляции, измеряющий влияние на фактора , при неизменном уровне других факторов, можно определить по следующей реккурентной формуле:

. (22)

Рассчитанные по реккурентной формуле частные коэффициенты корреляции изменяются в диапазоне от минус единицы до плюс единицы. Как правило, частные коэффициенты корреляции обычно не имеют самостоятельного значения. В основном их используют на стадии формирования модели, в частности в процедуре отсева факторов. Зная частные коэффициенты корреляции (последовательно первого, второго и более высокого порядка), можно определить совокупный коэффициент корреляции по формуле

. (23)

Для сопоставления можно определить ковариацию и корреляцию между массивами х₁ и y. Исходная информация и результаты приведены в таблицах 25, 26.

Таблица 25 – Результаты использования инструментов Ковариация и Корреляция

	A	B	C	D	E	F	G
1					Ковариация
2		х2	y			х2	y
3		3	5		х2	2
4		5	6		y	1,2	6,56
5		6	8		Корреляция
6		7	10			х2	y
7		4	12		х2	1
8					y	0,3313	1

Таблица 26 – Результаты использования инструментов Ковариация и Корреляция

	A	B	C	D	E	F	G
1					Ковариация
2		х1	y			х1	y
3		2	5		х1	2
4		3	6		y	3,6	6,56
5		4	8		Корреляция
6		5	10			х1	y
7		6	12		х1	1
8					y	0,9939	1

Как видно из таблиц 25, 26, во втором случае наблюдается значительно более тесная связь между анализируемыми массивами. В частности, коэффициент корреляции между х₁ и y массивами равен 0,9939, а между массивами х₂ и y всего 0,3313, что вполне соответствует исходным данным.