1.7. Работа сил электростатического поля. Циркуляция вектора напряженности. Потенциальность поля.

Элементарная работа сил поля по перемещению заряда равна:

Здесь dr — изменение расстояния r

до заряда при его движении.

Работу на конечном участке перемещения из 1 в 2 найдем путем интегрирования:

Из формулы (1.2) видно, что работа А₁₂ сил поля не зависит от вида траектории заряда, она зависит только от начальной и конечной точек пути. Следовательно, работа по замкнутому пути (контуру) будет равна нулю, т.е. электростатическое поле точечного заряда является потенциальным, а электростатические силы — консервативными.

Поэтому для произвольного замкнутого контура L:

Поскольку интеграл по замкнутому контуру вида называется циркуляцией вектора , то из формулы (1.3) следует, что циркуляция вектора напряженности электростатического поля по любому замкнутому контуру равна нулю: - условие консервативности электростатического поля.

1.8.. Потенциал электростатического поля. Разность потенциалов. Работа по перемещению заряда в электростатическом поле. Потенциал поля точечного заряда и системы точечных зарядов. Эквипотенциальные поверхности. Связь между напряженностью и потенциалом

Из выражения (1.2) видно, что работа по перемещению заряда из одной точки в другую равна убыли величины

которая соответствует начальной (первой) и конечной (второй) точкам траектории (А₁₂ = П₁ - П₂). Эта величина является потенциальной энергией заряженной частицы в поле другого точечного заряда q.

Согласно выражению (1.4) потенциальная энергия П(r) определена с точностью до постоянной величины, поскольку на опыте можно определить лишь разность потен­циальных энергий, т.е. работу. Постоянную в выражении (1.4) для П(r) удобно выбирать таким образом, чтобы на бесконечности, т.е. при r → ∞ , энергия П(r) → 0. В этом случае константа в формуле (1.4) равна нулю, а нулевой уровень энергии будет нахо­диться в бесконечности.

Поскольку потенциальная энергия пропорциональна заряду , можно ввести энергетическую характеристику электростатического поля, которая не зависит от и определяется только зарядом q, создающим поле. Для этого значение потенциаль­ной энергии нужно разделить на значение заряда :

- определение потенциала.

Таким образом, потенциал φ данной точки поля численно равен работе, которую совершают силы поля при перемещении единичного пробного (положительного) заряда из этой точки поля в бесконечно удаленную точку, т.е. на нулевой уровень.

Потенциал φ измеряется в вольтах ([φ ] = 1Дж / 1Кл = 1В).

С учетом выражения (1.4) для потенциала точечного заряда получим:

Согласно принципу суперпозиции: потенциал будет равняться сумме всех потенциалов.

E=-φ/d - форма связи напряжения и φ

Эквипотенциальная поверхность - геометрическое место точек поля, имеющих одинаковый потенциал φ, φ = const

1.9. Электрическое смещение. Поток смещения. Теорема Гаусса для электрического поля в диэлектрике.

Для описания электростатического поля используют его силовую характеристику — напряженность поля Е. Эта величи­на зависит от свойств среды, которые определяются диэлектрической проницаемо­стью е в выражении:

.

В диэлектрической среде напряженность поля определя­ется как свободными, так и связанными зарядами.

Связанными зарядами называются заряды, которые входят в состав атомов и молекул, а также заряды ионов в кристалли­ческих диэлектриках с ионной решеткой. Свободные заряды — это заряды частиц, способных перемещаться под действием электрического поля на макроскопические расстояния (электроны проводимости в металлах и полупроводниках, электроны в ва­кууме, ионы в электролитах и ионизированных газах).

Чтобы при описании поля в изотропной среде скомпенсировать влияние этой среды на напряженность Е (Е = Ео / ε), вводят дополнительную характе­ристику поля, называемую электрическим смещением

Для расчета электростатических полей большое значение имеет поток электрического смещения Ф

В дальнейшем для расчета характеристик поля, - определение потока вектора D.

Теорема Гаусса для вектора электрического смещения.

Рассчитаем поток вектора смещения D сквозь сферическую поверхность S радиусом r , которая совпадает с эк­випотенциальной поверхностью поля, созданного точечным зарядом q (рис. 3, а).

Согласно определению (1.3) с учетом выражения (1.2) имеем:

Полученный результат справедлив и для замкнутой поверхности произвольной формы S*

С учетом принципа суперпозиции эту теорему можно распространить на произвольную систему электрических зарядов, создающих поле. В общем случае теорема Гаусса для электрического поля утверждает: поток вектора электрического смещения D сквозь любую замкнутую поверхность равен алгебраической сумме свободных зарядов, охватываемых этой поверхностью, т.е.:

N— число зарядов